Ache o ângulo entre a reta e o plano:
Reta r que passa por A=(2,-1,3) e B=(-1 / 2,0,1 / 3) e o plano que passa por C=(1,-1,4), D= (1,1,-1) e E=(-1 / 2,1,4)\

Passo 1

O problema pede: “Ache o ângulo entre a reta r e o plano que passam pelos pontos dados.”
As informações do enunciado são os pontos:
A=(2,-1,3),\qquad B=\left(-\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{3}\right),
C=(1,-1,4),\qquad D=(1,1,-1),\qquad E=\left(-\tfrac{1}{2},1,4\right).
Queremos o ângulo entre a reta r que passa por A e B e o plano que passa por C,D,E. Não começamos a resolver ainda — aqui só listei o que o enunciado dá e o que é pedido.

Passo 2

Primeiro precisamos do vetor diretor da reta r. O vetor diretor é simplesmente a diferença entre as coordenadas de B e A:
\mathbf{d}= \overrightarrow{AB}=B-A=\left(-\tfrac{1}{2}-2,\;0-(-1),\;\tfrac{1}{3}-3\right).
Calcule cada coordenada:
-\tfrac{1}{2}-2=-\tfrac{5}{2},\qquad 0-(-1)=1,\qquad \tfrac{1}{3}-3=-\tfrac{8}{3}.
Logo
\mathbf{d}=\left(-\tfrac{5}{2},\,1,\,-\tfrac{8}{3}\right).
Para evitar muitas frações e facilitar as contas, podemos multiplicar \mathbf{d} por 6 (não muda a direção, só escala o vetor). Defino
\mathbf{d}'=6\mathbf{d}=(-15,\,6,\,-16).
Explicação rápida: para fins de ângulo, qualquer vetor proporcional a \mathbf{d} funciona; escalamento por constante não altera a direção.

Passo 3

Agora precisamos do plano. Para achar um vetor normal ao plano usamos dois vetores que pertencem ao plano, por exemplo
\mathbf{v}=\overrightarrow{CD}=D-C,\qquad \mathbf{w}=\overrightarrow{CE}=E-C.
Calcule \mathbf{v} e \mathbf{w}:
\mathbf{v}=D-C=(1-1,\;1-(-1),\;-1-4)=(0,\,2,\,-5).
\mathbf{w}=E-C=\left(-\tfrac{1}{2}-1,\;1-(-1),\;4-4\right)=\left(-\tfrac{3}{2},\,2,\,0\right).
Para ficar com inteiros, multiplico \mathbf{w} por 2 e trabalho com \mathbf{w}'=2\mathbf{w}=(-3,4,0). Observação: multiplicar por constante também não altera a direção do vetor no plano.

Passo 4

O vetor normal \mathbf{n} ao plano é obtido pelo produto vetorial (cross product) entre dois vetores do plano. Vou usar \mathbf{v} e \mathbf{w}':
\mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}'.
Lembrete didático sobre produto vetorial: o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} dá um vetor perpendicular a ambos \mathbf{a} e \mathbf{b}. Calcula-se com determinante da matriz das componentes.
Calcule:
\mathbf{v}=(0,2,-5),\qquad \mathbf{w}'=(-3,4,0).
\mathbf{n}=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 0 & 2 & -5\\[4pt] -3 & 4 & 0 \end{vmatrix} \;=\;\big(2\cdot0-(-5)\cdot4,\;-\big(0\cdot0-(-5)\cdot(-3)\big),\;0\cdot4-2\cdot(-3)\big).
Calcule cada componente:
\mathbf{n}=(0+20,\;-(0-15),\;0+6)=(20,15,6).
Observação: como \mathbf{w}'=2\mathbf{w}, este \mathbf{n} é duas vezes o normal obtido com \mathbf{v}\times\mathbf{w}; isso só escala o normal, a direção é a mesma e serve para as contas do ângulo.]

Passo 5

Agora a relação entre o ângulo da reta com o plano e produtos escalares: seja \theta o ângulo entre a reta e o plano. Seja \alpha o ângulo entre o vetor diretor \mathbf{d} da reta e o vetor normal \mathbf{n} do plano. Esses ângulos relacionam-se por
\theta=90^\circ-\alpha.
Além disso, o cosseno do ângulo entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é dado por
\cos(\text{ângulo})=\dfrac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},â
onde \mathbf{u}\cdot\mathbf{v} é o produto escalar e \|\cdot\| a norma (comprimento) do vetor.
Aplicando ao nosso caso: \cos\alpha=\dfrac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\,\|\mathbf{n}\|}. Como \theta=90^\circ-\alpha, temos
\sin\theta=\cos\alpha=\dfrac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
Portanto basta calcular o lado direito e depois aplicar arcoseno (inverse sine) para achar \theta.

Passo 6

Calcule o produto escalar entre os vetores inteiros que escolhemos: \mathbf{d}'=(-15,6,-16) e \mathbf{n}=(20,15,6).
\mathbf{d}'\cdot\mathbf{n}=(-15)\cdot20 + 6\cdot15 + (-16)\cdot6.
Calcule termo a termo:
(-15)\cdot20=-300,\qquad 6\cdot15=90,\qquad (-16)\cdot6=-96.
Somando:
\mathbf{d}'\cdot\mathbf{n}=-300+90-96=-306.
Tomamos o valor absoluto no numerador:
|\mathbf{d}'\cdot\mathbf{n}|=306.
Observação: usamos \mathbf{d}' e \mathbf{n} (ambos escalares inteiros) em vez de \mathbf{d} e \mathbf{n}; se \mathbf{d}'=k_1\mathbf{d} e \mathbf{n}=k_2\mathbf{n}_{\text{original}} então tanto numerador quanto denominador são multiplicados por k_1k_2 e o fator cancela, portanto a razão e o ângulo não mudam.

Passo 7

Calcule as normas (comprimentos) dos vetores usados. Para \mathbf{d}'=(-15,6,-16):
\|\mathbf{d}'\|=\sqrt{(-15)^2+6^2+(-16)^2}=\sqrt{225+36+256}=\sqrt{517}.
Para \mathbf{n}=(20,15,6):
\|\mathbf{n}\|=\sqrt{20^2+15^2+6^2}=\sqrt{400+225+36}=\sqrt{661}.
Assim, pela fórmula do passo anterior,
\sin\theta=\dfrac{306}{\sqrt{517}\,\sqrt{661}}=\dfrac{306}{\sqrt{517\cdot661}}=\dfrac{306}{\sqrt{341737}}.
Agora calculamos numericamente: \sqrt{341737}\approx584{,}59. Logo
\sin\theta\approx\dfrac{306}{584{,}59}\approx0{,}5236.
Finalmente, \theta=\arcsin(0{,}5236)\approx31{,}6^\circ.

Passo 8

Interpretação final e verificação rápida: \theta é um ângulo agudo (faz sentido, valores entre 0^\circ e 90^\circ). Se quisermos a resposta exata simbólica, podemos deixar como \theta=\arcsin\!\big(\tfrac{306}{\sqrt{341737}}\big). Se quisermos valor aproximado em graus, \theta\approx31{,}6^\circ.

Resposta

\theta=\arcsin\!\left(\dfrac{306}{\sqrt{341737}}\right)\approx31{,}6^\circ

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