Ache o ângulo entre a reta e o plano:
Reta r que passa por A=(2,-1,3) e B=(-1 / 2,0,1 / 3) e o plano que passa por C=(1,-1,4), D= (1,1,-1) e E=(-1 / 2,1,4)\
Passo 1
O problema pede: “Ache o ângulo entre a reta r e o plano que passam pelos pontos dados.”
As informações do enunciado são os pontos:
Queremos o ângulo entre a reta r que passa por A e B e o plano que passa por C,D,E. Não começamos a resolver ainda — aqui só listei o que o enunciado dá e o que é pedido.
Passo 2
Primeiro precisamos do vetor diretor da reta r. O vetor diretor é simplesmente a diferença entre as coordenadas de B e A:
Para ficar com inteiros, multiplico \mathbf{w} por 2 e trabalho com \mathbf{w}'=2\mathbf{w}=(-3,4,0). Observação: multiplicar por constante também não altera a direção do vetor no plano.
Passo 4
O vetor normal \mathbf{n} ao plano é obtido pelo produto vetorial (cross product) entre dois vetores do plano. Vou usar \mathbf{v} e \mathbf{w}':
\mathbf{n}=\mathbf{v}\times\mathbf{w}'.
Lembrete didático sobre produto vetorial: o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} dá um vetor perpendicular a ambos \mathbf{a} e \mathbf{b}. Calcula-se com determinante da matriz das componentes.
Observação: como \mathbf{w}'=2\mathbf{w}, este \mathbf{n} é duas vezes o normal obtido com \mathbf{v}\times\mathbf{w}; isso só escala o normal, a direção é a mesma e serve para as contas do ângulo.]
Passo 5
Agora a relação entre o ângulo da reta com o plano e produtos escalares: seja \theta o ângulo entre a reta e o plano. Seja \alpha o ângulo entre o vetor diretor \mathbf{d} da reta e o vetor normal \mathbf{n} do plano. Esses ângulos relacionam-se por
\theta=90^\circ-\alpha.
Além disso, o cosseno do ângulo entre dois vetores \mathbf{u} e \mathbf{v} é dado por
Observação: usamos \mathbf{d}' e \mathbf{n} (ambos escalares inteiros) em vez de \mathbf{d} e \mathbf{n}; se \mathbf{d}'=k_1\mathbf{d} e \mathbf{n}=k_2\mathbf{n}_{\text{original}} então tanto numerador quanto denominador são multiplicados por k_1k_2 e o fator cancela, portanto a razão e o ângulo não mudam.
Passo 7
Calcule as normas (comprimentos) dos vetores usados. Para \mathbf{d}'=(-15,6,-16):
Interpretação final e verificação rápida: \theta é um ângulo agudo (faz sentido, valores entre 0^\circ e 90^\circ). Se quisermos a resposta exata simbólica, podemos deixar como \theta=\arcsin\!\big(\tfrac{306}{\sqrt{341737}}\big). Se quisermos valor aproximado em graus, \theta\approx31{,}6^\circ.