Ache
ângulo entre a reta e o plano:
Reta
e o plano
.
Reta
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o ângulo entre a reta e o plano.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Reta
descrita por um ponto e um vetor diretor: . Aqui é um ponto da reta e é o vetor diretor da reta (peguei o vetor diretor diretamente do enunciado). - Plano
dado pela equação . Os coeficientes dessa equação formam o vetor normal do plano (peguei dos coeficientes da equação do plano).
O que se pede: calcular o ângulo entre a reta
e o plano
.
Passo 2
Vamos entender a relação entre o vetor diretor da reta, o vetor normal do plano e o ângulo pedido. Defina:
-
= vetor diretor da reta. -
= vetor normal do plano.
Seé o ângulo entre e , então o ângulo entre a reta e o plano é o complemento de , isto é
Para o ângulo entre dois vetores usamos a fórmula do cosseno:
onde
é o produto escalar e
é a norma (comprimento) do vetor. Como
, temos
. Portanto a fórmula prática que usamos é
Explicando as quantidades:
-
é a soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores. -
e .
Passo 3
Extraímos os vetores do enunciado:
(Repito:
veio do termo multiplicado por
na reta;
veio dos coeficientes
da equação do plano.)
Passo 4
Calculamos o produto escalar
:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Tomamos o valor absoluto que aparece na fórmula:
Passo 5
Calculamos as normas
e
.
Para
:
Para
:
Passo 6
Aplicamos a fórmula
:
Portanto
Calculando uma aproximação numérica (para ter ideia do tamanho do ângulo):
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