Ache o ângulo entre a reta e o plano:
Reta r: X=(-1,1,4)+\lambda(-1,2,2 / 3) e o plano \pi_{1}: x-y+4 z-7=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o ângulo entre a reta e o plano.
Informações dadas:
  • Reta r descrita por um ponto e um vetor diretor: \;X = (-1,1,4) + \lambda(-1,2,\tfrac{2}{3}). Aqui (-1,1,4) é um ponto da reta e (-1,2,\tfrac{2}{3}) é o vetor diretor \mathbf{d} da reta (peguei o vetor diretor diretamente do enunciado).
  • Plano \pi_{1} dado pela equação \;x - y + 4z - 7 = 0. Os coeficientes dessa equação formam o vetor normal \mathbf{n} do plano (peguei \mathbf{n} dos coeficientes da equação do plano).
O que se pede: calcular o ângulo entre a reta r e o plano \pi_{1}.

Passo 2

Vamos entender a relação entre o vetor diretor da reta, o vetor normal do plano e o ângulo pedido. Defina:
  • \mathbf{d} = vetor diretor da reta.
  • \mathbf{n} = vetor normal do plano.
    Se \varphi é o ângulo entre \mathbf{d} e \mathbf{n}, então o ângulo \theta entre a reta e o plano é o complemento de \varphi, isto é
\theta = 90^\circ - \varphi.
Para o ângulo entre dois vetores usamos a fórmula do cosseno:
\cos\varphi = \frac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\,\|\mathbf{n}\|},
onde \mathbf{d}\cdot\mathbf{n} é o produto escalar e \|\cdot\| é a norma (comprimento) do vetor. Como \theta = 90^\circ-\varphi, temos \sin\theta=\cos\varphi. Portanto a fórmula prática que usamos é
\sin\theta = \frac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\,\|\mathbf{n}\|}.
Explicando as quantidades:
  • \mathbf{d}\cdot\mathbf{n} é a soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.
  • \|\mathbf{d}\| = \sqrt{d_1^2+d_2^2+d_3^2} e \|\mathbf{n}\| = \sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2}.

Passo 3

Extraímos os vetores do enunciado:
\mathbf{d} = \bigl(-1,\,2,\,\tfrac{2}{3}\bigr),\qquad \mathbf{n} = (1,\,-1,\,4).
(Repito: \mathbf{d} veio do termo multiplicado por \lambda na reta; \mathbf{n} veio dos coeficientes 1,-1,4 da equação do plano.)

Passo 4

Calculamos o produto escalar \mathbf{d}\cdot\mathbf{n}:
\mathbf{d}\cdot\mathbf{n} = (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-1) + \tfrac{2}{3}\cdot 4.
Fazendo as contas passo a passo:
(-1)\cdot 1 = -1,\qquad 2\cdot(-1) = -2,\qquad \tfrac{2}{3}\cdot 4 = \tfrac{8}{3}.
Somando:
\mathbf{d}\cdot\mathbf{n} = -1 -2 + \tfrac{8}{3} = -3 + \tfrac{8}{3} = -\tfrac{1}{3}.
Tomamos o valor absoluto que aparece na fórmula:
|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}| = \tfrac{1}{3}.

Passo 5

Calculamos as normas \|\mathbf{d}\| e \|\mathbf{n}\|.
Para \|\mathbf{d}\|:
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + \left(\tfrac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{1 + 4 + \tfrac{4}{9}} = \sqrt{\tfrac{45}{9} + \tfrac{4}{9}} = \sqrt{\tfrac{49}{9}} = \tfrac{7}{3}.
Para \|\mathbf{n}\|:
\|\mathbf{n}\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}.

Passo 6

Aplicamos a fórmula \sin\theta = \dfrac{|\mathbf{d}\cdot\mathbf{n}|}{\|\mathbf{d}\|\,\|\mathbf{n}\|}:
\sin\theta = \frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{7}{3}\cdot 3\sqrt{2}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{7\sqrt{2}} =\frac{1}{21\sqrt{2}}.
Portanto
\theta = \arcsin\!\left(\frac{1}{21\sqrt{2}}\right).
Calculando uma aproximação numérica (para ter ideia do tamanho do ângulo):
\frac{1}{21\sqrt{2}}\approx 0,03367,
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\theta \approx 0,03367\\ \text{rad}\approx 1,93^\circ.

Resposta

\theta=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{21\sqrt{2}}\right)\approx 1,93^\circ

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