Ache o ângulo entre as retas:
r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=-4-2 \lambda \\\ y=1 \\\ z=-2-3 \lambda\end{array} \quad\right. para todo \lambda \in \mathbb{R} e r_{2}:\left\{\begin{array}{r}-2 x+3 y-z=0 \\\ x-y+5 z+4=0\end{array}\right.

Passo 1

O que o problema pede: achar o ângulo entre as retas [r_{1}) e r_{2}.
Informações dadas:
r_{1}:\begin{cases} x=-4-2\lambda\\[4pt] y=1\\[4pt] z=-2-3\lambda \end{cases}\quad\text{para todo }\lambda\in\mathbb{R}
r_{2}:\begin{cases} -2x+3y-z=0\\[4pt] x-y+5z+4=0 \end{cases}
Observações úteis que já podemos anotar (sem resolver ainda): cada reta em espaço tem um vetor diretor; r_{1}\] está em forma paramétrica (já dá o vetor diretor); \(r_{2} está como interseção de duas superfícies (duas equações de planos), então o vetor diretor de r_{2} será paralelo ao produto vetorial dos vetores normais desses dois planos. O ângulo entre retas é o ângulo entre seus vetores diretores.]

Passo 2

Extrair o vetor diretor de r_{1}.
Em uma equação paramétrica do tipo
x=x_0 + a\lambda,\quad y=y_0 + b\lambda,\quad z=z_0 + c\lambda,
o vetor diretor é (a,b,c), pois são os coeficientes que multiplicam o parâmetro.
Aplicando isso em r_{1}:
x=-4-2\lambda,\; y=1+0\lambda,\; z=-2-3\lambda,
logo o vetor diretor de r_{1} é
\mathbf{u}=(-2,\,0,\,-3).

Passo 3

Encontrar o vetor diretor de r_{2} a partir das duas equações de plano.
Para um plano dado por Ax+By+Cz+D=0, o vetor normal ao plano é (A,B,C). Então dos dois planos de r_{2} obtemos:
\mathbf{n}_1 = (-2,\,3,\,-1)\quad\text{(retirada de \(-2x+3y-z=0\))},
\mathbf{n}_2 = (1,\,-1,\,5)\quad\text{(retirada de \(x-y+5z+4=0\))}.
A reta r_{2} é a interseção desses dois planos, portanto seu vetor diretor \mathbf{v} é paralelo ao produto vetorial \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2.
Definição prática do produto vetorial:
\mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 = \bigl(a_2b_3-a_3b_2,\;a_3b_1-a_1b_3,\;a_1b_2-a_2b_1\bigr)
para \mathbf{n}_1=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{n}_2=(b_1,b_2,b_3).
Aplicando:
\begin{aligned} \mathbf{v} &= \mathbf{n}_1\times\mathbf{n}_2 \\\ &= \bigl(3\cdot5-(-1)\cdot(-1),\;(-1)\cdot1-(-2)\cdot5,\;(-2)\cdot(-1)-3\cdot1\bigr)\\[4pt] &= (15-1,\;-1-(-10),\;2-3)\\[4pt] &= (14,\;9,\;-1). \end{aligned}
Portanto o vetor diretor de r_{2} pode ser tomado como
\mathbf{v}=(14,\,9,\,-1).]

Passo 4

Fórmula do ângulo entre duas retas (vetores diretores) e cálculo do cosseno.
Se \mathbf{u} e \mathbf{v} são vetores diretores das retas, o cosseno do ângulo \theta entre as retas é dado por
\cos\theta = \frac{|\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|},
onde o valor absoluto garante que obtemos o ângulo agudo (o ângulo entre retas é tomado entre 0 e \tfrac{\pi}{2}).
Calculamos o produto escalar:
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=(-2)\cdot14 + 0\cdot9 + (-3)\cdot(-1) = -28 + 0 + 3 = -25.
Tomando o valor absoluto: |\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}|=25.
Normas:
\|\mathbf{u}\|=\sqrt{(-2)^2+0^2+(-3)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13},
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{14^2+9^2+(-1)^2}=\sqrt{196+81+1}=\sqrt{278}.
Então
\cos\theta = \frac{25}{\sqrt{13}\,\sqrt{278}}=\frac{25}{\sqrt{3614}}.

Passo 5

Calcular \theta (valor numérico) a partir do cosseno.
Tomando arco cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{25}{\sqrt{3614}}\right).
Avaliação numérica (aproximação):
\frac{25}{\sqrt{3614}}\approx 0,4157873,
logo
\theta\approx 65,43^\circ\approx 1,142\\ \text{rad}.
Você pode usar essa forma exata \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(25/\sqrt{3614}\bigr) na prova se preferir resposta simbólica, ou a aproximação em graus/ração se pedirem valor numérico.

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{25}{\sqrt{3614}}\right)\approx 65{,}43^\circ\;\left(\approx 1{,}142\\ \text{rad}\right)

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