Ache o ângulo entre os vetores, a partir do produto vetorial.
\vec{A}=\hat{x}-\hat{y} \quad, \quad \vec{B}=-\hat{x}+\hat{y}

Passo 1

O enunciado dá os vetores
\vec{A}=\hat{x}-\hat{y}
e
\vec{B}=-\hat{x}+\hat{y}
e pede que eu ache o ângulo entre eles “a partir do produto vetorial”. Informações relevantes que temos:
  • Os vetores estão escritos em base cartesiana com as componentes nas direções \hat{x} e \hat{y}.
  • O objetivo é encontrar o ângulo \theta entre \vec{A} e \vec{B}, usando o produto vetorial (e, se necessário, outras relações que apareçam ao longo do raciocínio).

Passo 2

Vou recordar a relação útil envolvendo o produto vetorial para obter o ângulo. Para dois vetores \vec{A} e \vec{B} em \mathbb{R}^3 vale a fórmula
|\vec{A}\times\vec{B}|=|\vec{A}|\;|\vec{B}|\;\sin\theta,
onde:
  • |\vec{A}\times\vec{B}| é a magnitude (norma) do produto vetorial;
  • |\vec{A}| e |\vec{B}| são as normas (comprimentos) dos vetores \vec{A} e \vec{B};
  • \theta é o ângulo entre os vetores, com 0\le\theta\le\pi.
    Dessa relação eu consigo isolar \sin\theta por
\sin\theta=\frac{|\vec{A}\times\vec{B}|}{|\vec{A}|\;|\vec{B}|}.
Observação importante (didática): se |\vec{A}\times\vec{B}|=0, então \sin\theta=0 e isso implica \theta=0 ou \theta=\pi. O produto vetorial sozinho não distingue entre vetores paralelos no mesmo sentido ( \theta=0) e vetores opostos ( \theta=\pi). Para resolver essa ambiguidade uso também o produto escalar:
\vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\;|\vec{B}|\;\cos\theta,
pois o sinal de \cos\theta dirá se \theta é 0 (cos positivo) ou \pi (cos negativo).

Passo 3

Primeiro escrevo as componentes dos vetores em coordenadas (assumindo a componente z=0 porque os vetores estão no plano xy):
\vec{A}=(1,-1,0),\qquad \vec{B}=(-1,1,0).
Aqui peguei as componentes diretamente das expressões \vec{A}=\hat{x}-\hat{y} e \vec{B}=-\hat{x}+\hat{y}.

Passo 4

Calculo o produto vetorial \vec{A}\times\vec{B}. Usando a fórmula por componentes:
\vec{A}\times\vec{B}=(A_yB_z-A_zB_y,\;A_zB_x-A_xB_z,\;A_xB_y-A_yB_x).
Substituindo A_x=1, A_y=-1, A_z=0, B_x=-1, B_y=1, B_z=0 obtenho:
\vec{A}\times\vec{B}=( (-1)\cdot 0 - 0\cdot 1,\; 0\cdot(-1)-1\cdot 0,\; 1\cdot 1 - (-1)\cdot(-1) ).
Calculando cada termo:
\vec{A}\times\vec{B}=(0,\;0,\;1-1)=(0,0,0).

Passo 5

A magnitude do produto vetorial é
|\vec{A}\times\vec{B}|=0.
Agora calculo as normas de \vec{A} e de \vec{B}:
|\vec{A}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt{2},
|\vec{B}|=\sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}=\sqrt{2}.

Passo 6

Uso a relação do Passo 2 para obter \sin\theta:
\sin\theta=\frac{|\vec{A}\times\vec{B}|}{|\vec{A}|\;|\vec{B}|}=\frac{0}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=0.
Portanto \sin\theta=0, o que dá \theta=0 ou \theta=\pi. Nesse ponto temos a ambiguidade mencionada antes.

Passo 7

Para decidir entre \theta=0 e \theta=\pi calculo o produto escalar:
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z=1\cdot(-1)+(-1)\cdot 1+0\cdot 0=-1-1=-2.
Agora uso \vec{A}\cdot\vec{B}=|\vec{A}|\;|\vec{B}|\;\cos\theta para encontrar \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{|\vec{A}|\;|\vec{B}|}=\frac{-2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{-2}{2}=-1.
Se \cos\theta=-1 então \theta=\pi (isto é, 180^\circ). Isso elimina a opção \theta=0.

Passo 8

Interpretação final: os vetores são exatamente opostos, pois \vec{B}=-\vec{A}. Então o ângulo entre eles é \pi radianos, ou 180^\circ. Fica a dica prática para a prova: se ao calcular \vec{A}\times\vec{B} você obtiver o vetor nulo, sempre confira o produto escalar para distinguir entre \theta=0 e \theta=\pi.

Resposta

\theta=\pi\\ \text{rad}=180^\circ

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