Ache o ângulo entre os vetores, a partir do produto vetorial.
Passo 1
O enunciado dá os vetores
e
e pede que eu ache o ângulo entre eles “a partir do produto vetorial”. Informações relevantes que temos:
- Os vetores estão escritos em base cartesiana com as componentes nas direções
e . - O objetivo é encontrar o ângulo
entre e , usando o produto vetorial (e, se necessário, outras relações que apareçam ao longo do raciocínio).
Passo 2
Vou recordar a relação útil envolvendo o produto vetorial para obter o ângulo. Para dois vetores
e
em
vale a fórmula
onde:
-
é a magnitude (norma) do produto vetorial; -
e são as normas (comprimentos) dos vetores e ; -
é o ângulo entre os vetores, com .
Dessa relação eu consigo isolarpor
Observação importante (didática): se
, então
e isso implica
ou
. O produto vetorial sozinho não distingue entre vetores paralelos no mesmo sentido (
) e vetores opostos (
). Para resolver essa ambiguidade uso também o produto escalar:
pois o sinal de
dirá se
é
(cos positivo) ou
(cos negativo).
Passo 3
Primeiro escrevo as componentes dos vetores em coordenadas (assumindo a componente
porque os vetores estão no plano
):
Aqui peguei as componentes diretamente das expressões
e
.
Passo 4
Calculo o produto vetorial
. Usando a fórmula por componentes:
Substituindo
,
,
,
,
,
obtenho:
Calculando cada termo:
Passo 5
A magnitude do produto vetorial é
Agora calculo as normas de
e de
:
Passo 6
Uso a relação do Passo 2 para obter
:
Portanto
, o que dá
ou
. Nesse ponto temos a ambiguidade mencionada antes.
Passo 7
Para decidir entre
e
calculo o produto escalar:
Agora uso
para encontrar
:
Se
então
(isto é,
). Isso elimina a opção
.
Passo 8
Interpretação final: os vetores são exatamente opostos, pois
. Então o ângulo entre eles é
radianos, ou
. Fica a dica prática para a prova: se ao calcular
você obtiver o vetor nulo, sempre confira o produto escalar para distinguir entre
e
.