Determine \overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}
\vec{A}=3 \hat{x}-2 \hat{y}+2 \hat{z}, \quad \vec{B}=-6 \hat{x}+4 \hat{y}-4 \hat{z}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar \overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}.\n
Informações dadas:
\vec{A}=3\hat{x}-2\hat{y}+2\hat{z},\qquad \vec{B}=-6\hat{x}+4\hat{y}-4\hat{z}.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): o produto vetorial \vec{A}\times\vec{B} é um vetor perpendicular a \vec{A} e \vec{B} cuja componente pode ser obtida pelo determinante formado pelos versores e pelas componentes dos vetores. Escrevemos isso como
\vec{A}\times\vec{B}= \begin{vmatrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\\ A_x & A_y & A_z \\\ B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Aqui A_x,A_y,A_z são as componentes de \vec{A} nas direções \hat{x},\hat{y},\hat{z}; idem para B_x,B_y,B_z. Em forma de componentes a regra dá
\vec{A}\times\vec{B}=(A_yB_z-A_zB_y)\hat{x} -(A_xB_z-A_zB_x)\hat{y} +(A_xB_y-A_yB_x)\hat{z}.
Vou calcular cada termo passo a passo, explicando as contas.

Passo 3

Identifico as componentes a partir dos vetores dados:
A_x=3,\quad A_y=-2,\quad A_z=2,
B_x=-6,\quad B_y=4,\quad B_z=-4.

Passo 4

Calculo da componente em \hat{x}:
A_yB_z-A_zB_y = (-2)\cdot(-4) - (2)\cdot(4).
Faço as multiplicações:
(-2)\cdot(-4)=8,\qquad 2\cdot4=8,
logo
A_yB_z-A_zB_y = 8-8=0.
Portanto a componente em \hat{x} é 0.

Passo 5

Calculo da componente em \hat{y} (atenção ao sinal negativo da fórmula):
Primeiro calcule o interior
A_xB_z-A_zB_x = 3\cdot(-4) - 2\cdot(-6).
Calculo:
3\cdot(-4)=-12,\qquad 2\cdot(-6)=-12,
então
A_xB_z-A_zB_x = -12 - (-12) = -12 +12 = 0.
Como na fórmula a componente em \hat{y} vem com sinal negativo, temos -0=0. Portanto a componente em \hat{y} é 0.

Passo 6

Calculo da componente em \hat{z}:
A_xB_y-A_yB_x = 3\cdot4 - (-2)\cdot(-6).
Calculo:
3\cdot4=12,\qquad (-2)\cdot(-6)=12,
logo
A_xB_y-A_yB_x = 12-12=0.
Portanto a componente em \hat{z} é 0.

Passo 7

Juntando as componentes, obtemos
\vec{A}\times\vec{B}=0\hat{x}+0\hat{y}+0\hat{z}=\vec{0}.
Interpretação e verificação rápida (dica de prova): se o produto vetorial dá o vetor nulo, os vetores são paralelos (ou um é nulo). Aqui dá para ver diretamente a razão escalar entre \vec{A} e \vec{B}:
-2\vec{A} = -2(3,-2,2)=(-6,4,-4)=\vec{B},
ou seja \vec{B}=-2\vec{A}: \vec{B} é múltiplo escalar de \vec{A}, logo são colineares e o produto vetorial deve ser \vec{0}. Isso confirma nosso cálculo.

Resposta

\vec{0}

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