Ache o ângulo entre os vetores \overrightarrow{\mathrm{A}} e \overrightarrow{\mathrm{B}} através do produto escalar:
\vec{A}=-2 \hat{x}+\hat{y} \quad, \quad \vec{B}=1,5 \hat{y}-0,5 \hat{z}

Passo 1

O enunciado pede que eu ache o ângulo entre os vetores \vec{A} e \vec{B} usando produto escalar. As informações dadas são:
\vec{A}=-2\hat{x}+\hat{y},\qquad \vec{B}=1,5\hat{y}-0,5\hat{z}.
Então a pergunta é: qual é o ângulo \theta entre \vec{A} e \vec{B}?

Passo 2

Primeiro, vou escrever claramente as componentes dos vetores em coordenadas cartesianas (forma que eu consigo operar facilmente):
\vec{A}=(-2,\;1,\;0),\qquad \vec{B}=(0,\;1,5,\;-0,5).
Explico: a componente em \hat{x} de \vec{A} é -2, em \hat{y} é 1 e não há componente em \hat{z} (portanto 0). Para \vec{B} não há componente em \hat{x} (logo 0), em \hat{y} é 1,5 e em \hat{z} é -0,5. (Peguei esses valores diretamente do enunciado.)

Passo 3

Agora a definição importante que vamos usar: o produto escalar (ou dot product) entre dois vetores \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z.
Esse produto escalar também se liga ao ângulo \theta entre eles pela fórmula
\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta,
onde \|\vec{u}\| é o comprimento (norma) de \vec{u} e \|\vec{v}\| o de \vec{v}. Vou usar essas duas fórmulas para achar \theta.

Passo 4

Calculo o produto escalar \vec{A}\cdot\vec{B} aplicando a definição componente a componente:
\vec{A}\cdot\vec{B}=(-2)\cdot 0 + 1\cdot 1,5 + 0\cdot(-0,5).
Fazendo as contas:
\vec{A}\cdot\vec{B}=0 + 1,5 + 0 = 1,5.

Passo 5

Agora calculo as normas (comprimentos) dos vetores. A norma de um vetor \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) é
\|\vec{u}\|=\sqrt{u_x^2+u_y^2+u_z^2}.
Aplico para \vec{A}:
\|\vec{A}\|=\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 0^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}.

Passo 6

Aplico a mesma fórmula para \vec{B}:
\|\vec{B}\|=\sqrt{0^2 + (1,5)^2 + (-0,5)^2}=\sqrt{(1,5)^2+(0,5)^2}.
Calculo os quadrados:
(1,5)^2=2,25,\qquad (0,5)^2=0,25,
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\|\vec{B}\|=\sqrt{2,25+0,25}=\sqrt{2,5}.

Passo 7

Uso a relação entre produto escalar e cosseno para isolar \cos\theta:
\cos\theta=\frac{\vec{A}\cdot\vec{B}}{\|\vec{A}\|\,\|\vec{B}\|}.
Substituo os valores que já calculei:
\cos\theta=\frac{1,5}{\sqrt{5}\,\sqrt{2,5}}.
Posso simplificar essa expressão de forma exata. Observe que \sqrt{5}\sqrt{2,5}=\sqrt{12,5} e 12,5=\dfrac{25}{2}, então \sqrt{12,5}=\dfrac{5}{\sqrt{2}}. Também 1,5=\dfrac{3}{2}. Assim,
\cos\theta=\frac{\tfrac{3}{2}}{\tfrac{5}{\sqrt{2}}}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{5}=\frac{3\sqrt{2}}{10}.
Então obtemos a forma exata
\cos\theta=\frac{3\sqrt{2}}{10}\approx 0,424264\ldots

Passo 8

Finalmente extraio o ângulo \theta aplicando arccos:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{3\sqrt{2}}{10}\right).
Para uma resposta prática (útil na prova), consigo um valor aproximado em graus. Calculando o arccos numericamente:
\theta\approx 64,9^\circ.
(Se preferir em radianos, \theta\approx 1,133 radianos.)

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{10}\right)\approx 64,9^\circ

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