Ache o ângulo entre os vetores
e
através do produto escalar:
Passo 1
O enunciado pede que eu ache o ângulo entre os vetores
e
usando produto escalar. As informações dadas são:
Então a pergunta é: qual é o ângulo
entre
e
?
Passo 2
Primeiro, vou escrever claramente as componentes dos vetores em coordenadas cartesianas (forma que eu consigo operar facilmente):
Explico: a componente em
de
é
, em
é
e não há componente em
(portanto
). Para
não há componente em
(logo
), em
é
e em
é
. (Peguei esses valores diretamente do enunciado.)
Passo 3
Agora a definição importante que vamos usar: o produto escalar (ou dot product) entre dois vetores
e
é
Esse produto escalar também se liga ao ângulo
entre eles pela fórmula
onde
é o comprimento (norma) de
e
o de
. Vou usar essas duas fórmulas para achar
.
Passo 4
Calculo o produto escalar
aplicando a definição componente a componente:
Fazendo as contas:
Passo 5
Agora calculo as normas (comprimentos) dos vetores. A norma de um vetor
é
Aplico para
:
Passo 6
Aplico a mesma fórmula para
:
Calculo os quadrados:
logo
Passo 7
Uso a relação entre produto escalar e cosseno para isolar
:
Substituo os valores que já calculei:
Posso simplificar essa expressão de forma exata. Observe que
e
, então
. Também
. Assim,
Então obtemos a forma exata
Passo 8
Finalmente extraio o ângulo
aplicando arccos:
Para uma resposta prática (útil na prova), consigo um valor aproximado em graus. Calculando o arccos numericamente:
(Se preferir em radianos,
radianos.)