Ache a área contida pela porção da cardioide
situada no primeiro e quarto quadrantes. Faça um esboço da região de integração. (2,5 pontos)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão trata de calcular a área da porção de uma cardioide dada pela equação polar $ r = 2(1 + \cos \theta) $ que está localizada nos primeiro e quarto quadrantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração em coordenadas polares e entender o comportamento da função dada.
Passo 2
Vamos começar desenhando a cardioide $ r = 2(1 + \cos \theta) $. Uma cardioide é uma curva com forma de coração, e essa equação específica é simétrica em relação ao eixo polar (eixo $ \theta = 0 $). Para esboçar, quando $ \theta = 0 $, $ r = 4 $; quando $ \theta = \pi $, $ r = 0 $. A curva se estende dos valores de $ \theta = -\pi $ a $ \theta = \pi $, mas como queremos apenas a parte nos primeiro e quarto quadrantes, vamos focar onde $ \theta $ está entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 3
Para encontrar a área em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Onde $ \alpha $ e $ \beta $ são os limites de integração para $ \theta $. Como estamos considerando os primeiro e quarto quadrantes, os limites serão de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 4
Agora, substituímos $ r $ pela equação da cardioide:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Passo 6
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Calculando cada integral:
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integral-pi2^pi2 cos theta , dtheta = sin theta |-pi2^pi2 = sin(pi2) - sin(-pi2) = 1 - (-1) = 2 -
integral-pi2^pi2 cos^2 theta , dtheta
Para a terceira integral, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 8
Agora, substituímos os resultados das integrais de volta:
Resposta
A área da porção da cardioide $ r = 2(1 + \cos \theta) $ nos primeiro e quarto quadrantes é $ 4\pi + 8 $ unidades quadradas.