Ache a área contida pela porção da cardioide r=2(1+cos theta) situada no primeiro e quarto quadrantes. Faça um esboço da região de integração. (2,5 pontos)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. A questão trata de calcular a área da porção de uma cardioide dada pela equação polar $ r = 2(1 + \cos \theta) $ que está localizada nos primeiro e quarto quadrantes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração em coordenadas polares e entender o comportamento da função dada.

Passo 2

Vamos começar desenhando a cardioide $ r = 2(1 + \cos \theta) $. Uma cardioide é uma curva com forma de coração, e essa equação específica é simétrica em relação ao eixo polar (eixo $ \theta = 0 $). Para esboçar, quando $ \theta = 0 $, $ r = 4 $; quando $ \theta = \pi $, $ r = 0 $. A curva se estende dos valores de $ \theta = -\pi $ a $ \theta = \pi $, mas como queremos apenas a parte nos primeiro e quarto quadrantes, vamos focar onde $ \theta $ está entre $ -\frac{\pi}{2} $ e $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 3

Para encontrar a área em coordenadas polares, usamos a fórmula:
Área = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta Á
Onde $ \alpha $ e $ \beta $ são os limites de integração para $ \theta $. Como estamos considerando os primeiro e quarto quadrantes, os limites serão de $ -\frac{\pi}{2} $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 4

Agora, substituímos $ r $ pela equação da cardioide:
r Á
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Área = 12 integral-pi2^pi2 [2(1 + cos theta)]^2 , dtheta

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Área = 12 integral-pi2^pi2 4(1 + 2cos theta + cos^2 theta) , dtheta = 2 integral-pi2^pi2 (1 + 2cos theta + cos^2 theta) , dtheta Á

Passo 6

Vamos integrar termo a termo:
2 [ integral-pi2^pi2 1 , dtheta + 2 integral-pi2^pi2 cos theta , dtheta + integral-pi2^pi2 cos^2 theta , dtheta ]

Passo 7

Calculando cada integral:
  1. integral-pi2^pi2 1 , dtheta = theta |-pi2^pi2 = pi
  2. integral-pi2^pi2 cos theta , dtheta = sin theta |-pi2^pi2 = sin(pi2) - sin(-pi2) = 1 - (-1) = 2
  3. integral-pi2^pi2 cos^2 theta , dtheta
Para a terceira integral, usamos a identidade trigonométrica:
cos^2 theta = 1 + cos 2theta2
Então,
integral-pi2^pi2 cos^2 theta , dtheta = 12 integral-pi2^pi2 (1 + cos 2theta) , dtheta = 12 [ theta + sin 2theta2 ]-pi2^pi2 = 12 [ pi + 0 - (-pi + 0) ] = 12 cdot 2pi = pi

Passo 8

Agora, substituímos os resultados das integrais de volta:
2 [ pi + 2 cdot 2 + pi ] = 2 [ pi + 4 + pi ] = 2(2pi + 4) = 4pi + 8

Resposta

A área da porção da cardioide $ r = 2(1 + \cos \theta) $ nos primeiro e quarto quadrantes é $ 4\pi + 8 $ unidades quadradas.

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