Avalie a integral definida.
integral0^1 / 2 sen^-1 xraiz1-x^2 d x

Passo 1

Nessa questão queremos avaliar a integral definida integral0^1/2 sin^-1(x)raiz1-x^2,dx. O conteúdo envolve integração de funções inversas e raízes quadradas, e vamos usar substituição porque sabemos que a derivada de sin^-1(x) é 1/raiz1-x^2.

Passo 2

Definimos a substituição u = sin^-1(x). Assim, temos:
x = sin(u), dx = cos(u),du, raiz1 - x^2 = cos(u)
Além disso, os limites mudam de x=0 para u=0 e de x=tfrac12 para u=tfracpi6.

Passo 3

Substituindo tudo na integral original, obtemos:
integral0^1/2 sin^-1(x)raiz1-x^2,dx = integral0^pi/6 ucos(u),cos(u),du = integral0^pi/6 u,du

Passo 4

Agora é só calcular a integral de u:
integral0^pi/6 u,du = [u^22]0^pi/6 = 12l(pi6r)^2 = pi^272

Resposta

pi^272

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