Considere a série sumn=0^infty (x-1)^n4^n(n+3)
Determine o intervalo de convergência

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar o intervalo de convergência da série sumn=0^infty (x-1)^n4^n(n+3). Isso tá ligado ao estudo de séries de potências e como determinamos onde elas dão certo (convergem). Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a descobrir até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma geral da série. Aqui, cada termo da série é (x-1)^n4^n(n+3). Isso parece uma série de potências centrada em x = 1, com razão envolvendo (x-1)/4.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. O teste diz que a série sum an converge se limn to infty | an+1an | < 1.

Passo 4

Vamos calcular an+1an:
an+1an = (x-1)^n+14^n+1(n+4)(x-1)^n4^n(n+3) = (x-1)^n+14^n+1(n+4) cdot 4^n(n+3)(x-1)^n = (x-1)4 cdot n+3n+4

Passo 5

Agora, vamos tirar o valor absoluto e calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | (x-1)4 cdot n+3n+4 | = | x-14 | cdot limn to infty n+3n+4 = | x-14 | cdot 1 = | x-14 |
O limite simplifica para | x-14 |.

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, esse limite precisa ser menor que 1:
| x-14 | < 1
Isso significa que:
|x-1|4 < 1 implies |x-1| < 4

Passo 7

A desigualdade |x-1| < 4 significa que x-1 está entre -4 e 4:
-4 < x - 1 < 4
Agora, somando 1 em todos os lados:
-4 + 1 < x < 4 + 1 implies -3 < x < 5
Então, o intervalo preliminar de convergência é (-3, 5).

Passo 8

Precisamos verificar os pontos finais x = -3 e x = 5 para ver se a série converge nesses pontos.
Para x = -3:
sumn=0^infty (-3-1)^n4^n(n+3) = sumn=0^infty (-4)^n4^n(n+3) = sumn=0^infty (-1)^nn+3
Essa é uma série alternada. Pelo Teste de Leibniz, se os termos decrescem para zero, a série converge.
Para x = 5:
sumn=0^infty (5-1)^n4^n(n+3) = sumn=0^infty 4^n4^n(n+3) = sumn=0^infty 1n+3
Isso é similar à série harmônica sum 1n, que sabemos que diverge.

Resposta

O intervalo de convergência da série é [-3, 5).

Exercícios relacionados