Ache a área da menor das regiões delimitadas pelo eixo polar, pelos gráficos de r=1, r=2 e pela parte da espiral r=1theta de theta=12 a theta=1.
1 <= n <= 2 ; 0 <= theta <= pi2

Passo 1

O enunciado pede a área da menor região limitada pelo eixo polar, pelas curvas r=1, r=2 e pela espiral r=tfrac1theta para theta de tfrac12 até 1. O conteúdo envolve cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula da área A=integral dupla r,dr,dtheta. Para resolver, vamos determinar onde a espiral cruza as circunferências e dividir o setor angular em subintervalos adequados.

Passo 2

Precisamos achar as interseções entre a espiral e as circunferências: resolvendo tfrac1theta=2 obtemos theta=tfrac12, e resolvendo tfrac1theta=1 obtemos theta=1. Assim, para 0<=theta a espiral fica fora do anel 1<= r<=2; para tfrac12 ela corta o anel; para 1 ela fica dentro do círculo r=1.

Passo 3

Vamos dividir o anel 1<= r<=2,;0<=theta<=tfracpi2 em quatro regiões:
  1. 0<=theta<=tfrac12,;1<= r<=2.
  2. tfrac12<=theta<=1,;1<= r<=tfrac1theta.
  3. tfrac12<=theta<=1,;tfrac1theta<= r<=2.
  4. 1<=theta<=tfracpi2,;1<= r<=2.

Passo 4

Agora calculamos cada área usando dA=r,dr,dtheta:
Para a região 1:
A1=integral0^1/2integral1^2r,dr,dtheta=integral0^1/24-12,dtheta=32cdot12=34
Para a região 2 (parte interna):
A2=integral1/2^1integral1^1/thetar,dr,dtheta=12integral1/2^1l(1theta^2-1r)dtheta=12l[( -tfrac1theta-theta)r]1/2^1=14

Passo 5

Para a região 3 (parte externa):
A3=integral1/2^1integral1/theta^2r,dr,dtheta=12integral1/2^1l(4-1theta^2r)dtheta=12l[(4theta+tfrac1theta)r]1/2^1=12
Para a região 4:
A4=integral1^pi/2integral1^2r,dr,dtheta=32l(pi2-1r)=3pi-64approx0.856

Passo 6

Comparando A1=0.75, A2=0.25, A3=0.5 e A4approx0.856, vemos que a menor área é A2.

Resposta

A área da menor região é dfrac14.

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