Ache a área da menor das regiões delimitadas pelo eixo polar, pelos gráficos de
e pela parte da espiral
de
a
.
Passo 1
O enunciado pede a área da menor região limitada pelo eixo polar, pelas curvas
,
e pela espiral
para
de
até
. O conteúdo envolve cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula da área
. Para resolver, vamos determinar onde a espiral cruza as circunferências e dividir o setor angular em subintervalos adequados.
Passo 2
Precisamos achar as interseções entre a espiral e as circunferências: resolvendo
obtemos
, e resolvendo
obtemos
. Assim, para
a espiral fica fora do anel
; para
ela corta o anel; para
ela fica dentro do círculo
.
Passo 3
Vamos dividir o anel
em quatro regiões:
-
. -
. -
. -
.
Passo 4
Agora calculamos cada área usando
:
Para a região 1:
Para a região 1:
Para a região 2 (parte interna):
Passo 5
Para a região 3 (parte externa):
Para a região 4:
Passo 6
Comparando
,
,
e
, vemos que a menor área é
.
Resposta
A área da menor região é
.