Para cada uma das funções abaixo, calcule
e encontre seu respectivo domínio. Esboce o domínio.
Passo 1
Então, a gente tem a função $ f(x, y) = \frac{\sqrt{x + y + 1}}{x - 1} $. A tarefa é calcular $ f(3, 2) $ e descobrir qual é o domínio dessa função, ou seja, todos os valores de $ x $ e $ y $ que fazem a função funcionar direitinho. Para isso, vamos precisar entender como calcular valores de funções e também saber como determinar o domínio de uma função que envolve raiz quadrada e fração.
Passo 2
Vamos começar calculando $ f(3, 2) $. Isso significa substituir $ x $ por 3 e $ y $ por 2 na função.
Primeiro, somamos os números dentro da raiz:
Então, temos:
A raiz quadrada de 6 fica assim:
Dividindo por 2:
Passo 3
Agora, vamos descobrir o domínio da função $ f(x, y) = \frac{\sqrt{x + y + 1}}{x - 1} $. O domínio é o conjunto de todos os pares $ (x, y) $ para os quais a função está definida.
Primeiro, vamos analisar a raiz quadrada. Para a raiz quadrada ser válida, o que está dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Isso significa que todos os pares $ (x, y) $ que satisfazem essa desigualdade são válidos para a raiz quadrada.
Segundo, vamos olhar para o denominador $ x - 1 $. A divisão por zero não é permitida, então:
Portanto, o valor $ x = 1 $ está excluído do domínio.
Passo 4
Juntando essas duas condições, o domínio da função é todos os pares $ (x, y) $ tais que:
- $ x + y \geq -1 $
- $ x \neq 1 $
Para esboçar o domínio, podemos desenhar no plano cartesiano a linha $ x + y = -1 $ e considerar toda a região acima dela (incluindo a própria linha). Além disso, devemos tirar de vista a linha vertical $ x = 1 $, pois nela a função não está definida.
Resposta
Portanto, $ f(3, 2) \approx 1,224 $ e o domínio da função é todos os pares $ (x, y) $ onde $ x + y \geq -1 $ e $ x \neq 1 $.