Seja alpha(t)=(sen(2 t), 2 sen^2 t, 2 cos t).
Verifique que o traço de alpha está contido numa esfera centrada na origem;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o traço da curva alpha(t) = (sin(2t), 2sin^2 t, 2cos t) está contido numa esfera centrada na origem. Isso envolve estudar vetores e geometria no espaço. Pra resolver, vamos precisar entender o que define uma esfera e como relacionar isso com os componentes da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma esfera centrada na origem com raio R é dada por:
x^2 + y^2 + z^2 = R^2
Então, se conseguirmos mostrar que x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 é constante (não depende de t), isso significa que todos os pontos da curva estão na esfera com raio raizR^2.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da nossa curva alpha(t):
x(t) = sin(2t), y(t) = 2sin^2 t, z(t) = 2cos t
Agora, vamos calcular x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2.

Passo 4

Primeiro, calculemos x(t)^2:
x(t)^2 = sin^2(2t)
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
sin(2t) = 2sin t cos t Rightarrow sin^2(2t) = 4sin^2 t cos^2 t

Passo 5

Agora, calculemos y(t)^2:
y(t)^2 = (2sin^2 t)^2 = 4sin^4 t

Passo 6

E z(t)^2 é:
z(t)^2 = (2cos t)^2 = 4cos^2 t

Passo 7

Vamos somar tudo:
x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = 4sin^2 t cos^2 t + 4sin^4 t + 4cos^2 t
Agora, vamos fatorar o 4:
= 4(sin^2 t cos^2 t + sin^4 t + cos^2 t)

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses. Observamos que:
sin^4 t + sin^2 t cos^2 t = sin^2 t (sin^2 t + cos^2 t) = sin^2 t cdot 1 = sin^2 t
Então:
4(sin^2 t + cos^2 t) = 4 cdot 1 = 4

Resposta

Encontramos que x(t)^2 + y(t)^2 + z(t)^2 = 4, que é constante. Portanto, o traço de alpha(t) está contido numa esfera centrada na origem com raio 2.

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