Seja
.
Verifique que o traço de
está contido numa esfera centrada na origem;
Verifique que o traço de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se o traço da curva
está contido numa esfera centrada na origem. Isso envolve estudar vetores e geometria no espaço. Pra resolver, vamos precisar entender o que define uma esfera e como relacionar isso com os componentes da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a equação de uma esfera centrada na origem com raio
é dada por:
Então, se conseguirmos mostrar que
é constante (não depende de
), isso significa que todos os pontos da curva estão na esfera com raio
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes da nossa curva
:
Agora, vamos calcular
.
Passo 4
Primeiro, calculemos
:
Sabemos pela identidade trigonométrica que:
Passo 5
Agora, calculemos
:
Passo 6
E
é:
Passo 7
Vamos somar tudo:
Agora, vamos fatorar o 4:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses. Observamos que:
Então:
Resposta
Encontramos que
, que é constante. Portanto, o traço de
está contido numa esfera centrada na origem com raio
.