Ache a área A da região R delimitada pela reta
e pela parábola
. (Faça um esboço gráfico).
Passo 1
O enunciado pede a área
da região
limitada pela reta
e pela parábola
. Também solicita que se faça um esboço gráfico da região.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A reta:
. - A parábola:
. - A região
é a região fechada delimitada por essas duas curvas; queremos a sua área . - Precisamos identificar os pontos de interseção das curvas (para obter os limites de integração) e montar o integral adequado que calcula a área entre elas.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção das curvas substituindo
na equação da parábola. Substituindo:
Desenvolvendo:
Multiplicando por
para eliminar o denominador:
Passando tudo para um lado:
Esta é uma equação quadrática. Calculamos as raízes pela fórmula quadrática ou observando o discriminante. O discriminante é
logo
. As raízes são
Assim obtemos
Agora achamos as ordenadas correspondentes usando
:
Portanto os pontos de interseção são
e
.
Passo 3
Vamos decidir a melhor variável para integrar. A parábola está dada por
, que é mais naturalmente escrita como função de
isolando
:
A reta também pode ser escrita como
(pois
implica
). Observando os pontos de interseção temos
variando de
até
. Entre esses valores de
a curva
(a parábola, que abre para a esquerda quando vista como
em função de
) fica à direita, e a reta
fica à esquerda (verificação rápida: em
temos
e
, logo parábola à direita). Por isso é conveniente integrar em
usando a fórmula da área entre curvas verticais:
Aqui
e
,
e
.
Passo 4
Montamos o integral para a área:
Vou explicar a fórmula usada: quando integramos em
, para cada valor de
consideramos o segmento horizontal que vai da curva mais à esquerda até a curva mais à direita; o comprimento desse segmento é
. Integrando esses comprimentos em
obtemos a área total.
Passo 5
Calculamos a primitiva da função integranda termo a termo. Para a função
:
- A primitiva de
é porque . - A primitiva de
é porque . - A primitiva de
é porque .
Portanto uma primitiva é
Passo 6
Avaliamos a primitiva nos limites
e
e subtraímos:
Primeiro :
Primeiro
Depois
:
Juntando os termos não fracionários:
, logo
Agora a diferença:
Passo 7
Esboço gráfico (descrição): a parábola escrita como
tem vértice em
e abre para a esquerda; seus ramos superior e inferior são simétricos em relação ao eixo
. A reta
tem inclinação
, passa pela origem e cruza a parábola nos pontos
(pega o ramo inferior) e
(pega o ramo superior). A região
é o “fecho” entre a parábola à direita e a reta à esquerda, para
variando de
a
. Se você desenhar, trace a parábola com eixo horizontal, a reta mais suave cortando-a, e marque os pontos de interseção; a área procurada está entre essas curvas.
Resposta
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