Ache a área A da região R delimitada pela reta y=\frac{x}{2} e pela parábola y^{2}=8-x. (Faça um esboço gráfico).

Passo 1

O enunciado pede a área A da região R limitada pela reta y=\frac{x}{2} e pela parábola y^{2}=8-x. Também solicita que se faça um esboço gráfico da região.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A reta: y=\frac{x}{2}.
  • A parábola: y^{2}=8-x.
  • A região R é a região fechada delimitada por essas duas curvas; queremos a sua área A.
  • Precisamos identificar os pontos de interseção das curvas (para obter os limites de integração) e montar o integral adequado que calcula a área entre elas.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção das curvas substituindo y=\frac{x}{2} na equação da parábola. Substituindo:
\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=8-x.
Desenvolvendo:
\frac{x^{2}}{4}=8-x.
Multiplicando por 4 para eliminar o denominador:
x^{2}=32-4x.
Passando tudo para um lado:
x^{2}+4x-32=0.
Esta é uma equação quadrática. Calculamos as raízes pela fórmula quadrática ou observando o discriminante. O discriminante é
\Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot(-32)=16+128=144,
logo \sqrt{\Delta}=12. As raízes são
x=\frac{-4\pm12}{2}.
Assim obtemos
x_{1}=\frac{-4+12}{2}=4,\qquad x_{2}=\frac{-4-12}{2}=-8.
Agora achamos as ordenadas correspondentes usando y=\frac{x}{2}:
\text{para }x=4:\; y=\frac{4}{2}=2.
\text{para }x=-8:\; y=\frac{-8}{2}=-4.
Portanto os pontos de interseção são (-8,-4) e (4,2).

Passo 3

Vamos decidir a melhor variável para integrar. A parábola está dada por y^{2}=8-x, que é mais naturalmente escrita como função de y isolando x:
x=8-y^{2}.
A reta também pode ser escrita como x=2y (pois y=\frac{x}{2} implica x=2y). Observando os pontos de interseção temos y variando de -4 até 2. Entre esses valores de y a curva x=8-y^{2} (a parábola, que abre para a esquerda quando vista como x em função de y) fica à direita, e a reta x=2y fica à esquerda (verificação rápida: em y=0 temos x_{\text{par}}=8 e x_{\text{reta}}=0, logo parábola à direita). Por isso é conveniente integrar em y usando a fórmula da área entre curvas verticais:
\text{área}=\int_{y_{a}}^{y_{b}}\bigl(x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}\bigr)\,dy.á
Aqui y_{a}=-4 e y_{b}=2, x_{\text{direita}}=8-y^{2} e x_{\text{esquerda}}=2y.

Passo 4

Montamos o integral para a área:
A=\int_{-4}^{2}\bigl((8-y^{2})-(2y)\bigr)\,dy=\int_{-4}^{2}\bigl(8-y^{2}-2y\bigr)\,dy.
Vou explicar a fórmula usada: quando integramos em y, para cada valor de y consideramos o segmento horizontal que vai da curva mais à esquerda até a curva mais à direita; o comprimento desse segmento é x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}. Integrando esses comprimentos em y obtemos a área total.

Passo 5

Calculamos a primitiva da função integranda termo a termo. Para a função 8-y^{2}-2y:
  • A primitiva de 8 é 8y porque \frac{d}{dy}(8y)=8.
  • A primitiva de -y^{2} é -\frac{y^{3}}{3} porque \frac{d}{dy}\left(-\frac{y^{3}}{3}\right)=-y^{2}.
  • A primitiva de -2y é -y^{2} porque \frac{d}{dy}(-y^{2})=-2y.
Portanto uma primitiva é
F(y)=8y-\frac{y^{3}}{3}-y^{2}.

Passo 6

Avaliamos a primitiva nos limites y=2 e y=-4 e subtraímos:
Primeiro F(2):
F(2)=8\cdot 2-\frac{2^{3}}{3}-2^{2}=16-\frac{8}{3}-4=12-\frac{8}{3}=\frac{36-8}{3}=\frac{28}{3}.
Depois F(-4):
F(-4)=8\cdot(-4)-\frac{(-4)^{3}}{3}-(-4)^{2}=-32-\frac{-64}{3}-16=-32+\frac{64}{3}-16.
Juntando os termos não fracionários: -32-16=-48, logo
F(-4)=-48+\frac{64}{3}=\frac{-144+64}{3}=\frac{-80}{3}.
Agora a diferença:
A=F(2)-F(-4)=\frac{28}{3}-\left(\frac{-80}{3}\right)=\frac{28+80}{3}=\frac{108}{3}=36.

Passo 7

Esboço gráfico (descrição): a parábola escrita como x=8-y^{2} tem vértice em (8,0) e abre para a esquerda; seus ramos superior e inferior são simétricos em relação ao eixo x. A reta y=\frac{x}{2} tem inclinação 1/2, passa pela origem e cruza a parábola nos pontos (-8,-4) (pega o ramo inferior) e (4,2) (pega o ramo superior). A região R é o “fecho” entre a parábola à direita e a reta à esquerda, para y variando de -4 a 2. Se você desenhar, trace a parábola com eixo horizontal, a reta mais suave cortando-a, e marque os pontos de interseção; a área procurada está entre essas curvas.

Resposta

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