Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{5 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1}{x^{4}+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{5 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1}{x^{4}+x^{2}}\,dx.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{numerador} = 5x^{3}-3x^{2}+2x-1, \qquad \text{denominador} = x^{4}+x^{2}.
Também observo que o denominador pode ser fatorado como
x^{4}+x^{2}=x^{2}(x^{2}+1).
Nada mais é pedido além de calcular essa integral indefinida (incluir a constante de integração).

Passo 2

Vamos escolher um método para resolver. Como temos uma razão de polinômios (uma função racional) e o grau do denominador é maior ou igual ao do numerador, o método natural é decompor em frações parciais: escrever a função como soma de frações mais simples que a gente sabe integrar (como 1/x, 1/x^{2}, e termos do tipo (ax+b)/(x^{2}+1)). Essa escolha é a mais direta e adequada aqui porque o denominador fatorou em um fator quadrático irreducível x^{2}+1 e um fator x^{2} repetido, o que leva a um formato padrão de decomposição.

Passo 3

Construímos a forma da decomposição em frações parciais para
\frac{5 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1}{x^{2}(x^{2}+1)}.
Como o fator x^{2} é potência de um polinômio linear, precisamos dos termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Como x^{2}+1 é quadrática irreducível sobre os reais, usamos um numerador linear \dfrac{Cx+D}{x^{2}+1}. Portanto assumimos
\frac{5 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1}{x^{2}(x^{2}+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por x^{2}(x^{2}+1) para igualar numeradores:
5x^{3}-3x^{2}+2x-1 = A\cdot x(x^{2}+1) + B\cdot (x^{2}+1) + (Cx+D)\cdot x^{2}.
Agora expandimos o lado direito termo a termo:
A\cdot x(x^{2}+1)=A x^{3}+A x,
B\cdot (x^{2}+1)=B x^{2}+B,
(Cx+D)\cdot x^{2}=C x^{3}+D x^{2}.
Somando:
A x^{3}+C x^{3} + (B x^{2}+D x^{2}) + A x + B = (A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + A x + B.

Passo 5

Igualamos coeficientes dos polinômios (os polinômios são iguais para todo x\), então os coeficientes correspondentes são iguais). Do lado esquerdo temos \(5x^{3}-3x^{2}+2x-1\). Comparando com \((A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + A x + B\) obtemos o sistema: \[\begin{cases} A + C = 5,\\[4pt] B + D = -3,\\[4pt] A = 2,\\[4pt] B = -1. \end{cases}
Das últimas duas equações já temos A=2\] e \(B=-1. Substituindo A em A+C=5 2+C=5 então C=3. Substituindo B em B+D=-3 -1+D=-3 então D=-2.
Logo
A=2,\quad B=-1,\quad C=3,\quad D=-2.]

Passo 6

Reescrevemos a integranda usando os coeficientes encontrados:
\frac{5 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1}{x^{4}+x^{2}} = \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3x-2}{x^{2}+1}.
Portanto a integral se separa em integrais mais simples:
\int \frac{5 x^{3}-3 x^{2}+2 x-1}{x^{4}+x^{2}}\,dx = \int \frac{2}{x}\,dx - \int \frac{1}{x^{2}}\,dx + \int \frac{3x-2}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 7

Integramos termo a termo, explicando cada regra usada.
  1. Para \displaystyle \int \frac{2}{x}\,dx: usamos a regra do logaritmo. Regra: \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C. Multiplicando por 2 vem
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|.
  1. Para \displaystyle -\int \frac{1}{x^{2}}\,dx: escrevemos \frac{1}{x^{2}}=x^{-2} e aplicamos a regra da potência \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C (para n\neq -1). Aqui n=-2, então
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}.
Com o sinal negativo inicial:
- \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}.
  1. Para \displaystyle \int \frac{3x-2}{x^{2}+1}\,dx separamos em duas integrais:
\int \frac{3x}{x^{2}+1}\,dx \quad\text{e}\quad -\int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx.
  • No primeiro, fazemos a substituição u=x^{2}+1. Então du=2x\,dx, ou x\,dx=\dfrac{du}{2}. Assim
\int \frac{3x}{x^{2}+1}\,dx = 3\int \frac{x\,dx}{x^{2}+1} = 3\cdot\frac{1}{2}\int \frac{du}{u} = \frac{3}{2}\ln(u) = \frac{3}{2}\ln(x^{2}+1).
  • No segundo, usamos a primitiva da função arco-tangente: \displaystyle \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x. Então
-\int \frac{2}{x^{2}+1}\,dx = -2\arctan x.

Passo 8

Somando todas as partes que encontramos:
2\ln|x| \;+\; \frac{1}{x} \;+\; \frac{3}{2}\ln(x^{2}+1) \;-\; 2\arctan x \;+\; C,
onde C é a constante de integração. Essa é a primitiva geral da função dada. Força aí — você já tem o passo a passo para aplicar esse método em outras integrais racionais parecidas!

Resposta

2\ln|x|+\frac{1}{x}+\frac{3}{2}\ln(x^{2}+1)-2\arctan x + C

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