Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas no enunciado:
Também observo que o denominador pode ser fatorado como
Nada mais é pedido além de calcular essa integral indefinida (incluir a constante de integração).
Passo 2
Vamos escolher um método para resolver. Como temos uma razão de polinômios (uma função racional) e o grau do denominador é maior ou igual ao do numerador, o método natural é decompor em frações parciais: escrever a função como soma de frações mais simples que a gente sabe integrar (como
,
, e termos do tipo
). Essa escolha é a mais direta e adequada aqui porque o denominador fatorou em um fator quadrático irreducível
e um fator
repetido, o que leva a um formato padrão de decomposição.
Passo 3
Construímos a forma da decomposição em frações parciais para
Como o fator
é potência de um polinômio linear, precisamos dos termos
. Como
é quadrática irreducível sobre os reais, usamos um numerador linear
. Portanto assumimos
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados por
para igualar numeradores:
Agora expandimos o lado direito termo a termo:
Somando:
Passo 5
Igualamos coeficientes dos polinômios (os polinômios são iguais para todo
Das últimas duas equações já temos
. Substituindo
em
dá
então
. Substituindo
em
dá
então
.
Logo
Passo 6
Reescrevemos a integranda usando os coeficientes encontrados:
Portanto a integral se separa em integrais mais simples:
Passo 7
Integramos termo a termo, explicando cada regra usada.
- Para
: usamos a regra do logaritmo. Regra: . Multiplicando por vem
- Para
: escrevemos e aplicamos a regra da potência (para ). Aqui , então
Com o sinal negativo inicial:
- Para
separamos em duas integrais:
- No primeiro, fazemos a substituição
. Então , ou . Assim
- No segundo, usamos a primitiva da função arco-tangente:
. Então
Passo 8
Somando todas as partes que encontramos:
onde
é a constante de integração. Essa é a primitiva geral da função dada. Força aí — você já tem o passo a passo para aplicar esse método em outras integrais racionais parecidas!