Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{\left(x^{2}-3 x+5\right) d x}{x^{3}-5 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\left(x^{2}-3 x+5\right)\,dx}{x^{3}-5 x^{2}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O numerador é \;x^{2}-3x+5\;.
  • O denominador é \;x^{3}-5x^{2}\;.
  • Note que o denominador fatoriza como \;x^{2}(x-5)\;, logo os pontos x=0 e x=5 são pontos onde a função integrando não está definida.

Passo 2

Escolha do método: vamos decompor a função racional em frações parciais (outra forma de dizer: escrever como soma de frações simples) porque temos uma razão de polinômios em que o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador fatoriza em fatores lineares (com multiplicidade). Isso torna a decomposição em termos do tipo \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}+\dfrac{C}{x-5} natural e simples.
Explicação rápida do porquê: para um fator x^{2} (multiplicidade 2) precisamos de termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^{2}}. Para um fator simples (x-5) precisamos de \dfrac{C}{x-5}.
Portanto supomos que
\frac{x^{2}-3x+5}{x^{2}(x-5)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x-5}.

Passo 3

Eliminamos denominadores multiplicando ambos os lados por \;x^{2}(x-5)\;. Assim obtemos a identidade polinomial
x^{2}-3x+5 = A\cdot x(x-5) + B\cdot (x-5) + C\cdot x^{2}.
Vamos usar valores convenientes de x para achar A,B,C de forma direta (método rápido e didático):
  1. Tomando x=0:
0^{2}-3\cdot0+5 = B\cdot(0-5)\quad\Rightarrow\quad 5 = -5B \quad\Rightarrow\quad B = -1.
  1. Tomando x=5:
5^{2}-3\cdot5+5 = C\cdot 5^{2}\quad\Rightarrow\quad 25-15+5 = 25C \quad\Rightarrow\quad 15 = 25C \quad\Rightarrow\quad C = \frac{15}{25}=\frac{3}{5}.
  1. Para achar A podemos usar a igualdade dos coeficientes de x^{2} ou simplesmente substituir os valores encontrados numa das equações. A forma mais direta é comparar o coeficiente de x^{2} na identidade original: do lado direito os coeficientes de x^{2} são A (de A x^2), mais C (de C x^2), logo
A + C = 1.
Com C=\dfrac{3}{5} obtemos
A = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}.
Resumo dos coeficientes:
A=\frac{2}{5},\qquad B=-1,\qquad C=\frac{3}{5}.

Passo 4

Reescrevemos a integral usando a decomposição obtida:
\frac{x^{2}-3x+5}{x^{2}(x-5)} = \frac{2/5}{x} + \frac{-1}{x^{2}} + \frac{3/5}{x-5}.
Portanto
\int \frac{x^{2}-3x+5}{x^{2}(x-5)}\,dx = \int \left(\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} + \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{x-5}\right)\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo, lembrando das fórmulas básicas:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C. Aqui é importante o valor absoluto porque o logaritmo natural exige argumento positivo; a constante de integração absorve sinais, mas matematicamente escrevemos \ln|x|.
  • \displaystyle \int x^{-2}\,dx = \int \frac{1}{x^{2}}\,dx = -\frac{1}{x} + C. Em particular, \displaystyle \int -\frac{1}{x^{2}}\,dx = +\frac{1}{x} + C.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x-5}\,dx = \ln|x-5| + C (mudança linear no argumento do log).
Aplicando essas regras:
\int \frac{2}{5}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{2}{5}\ln|x|,
\int -\frac{1}{x^{2}}\,dx = \frac{1}{x},
\int \frac{3}{5}\cdot\frac{1}{x-5}\,dx = \frac{3}{5}\ln|x-5|.
Somando os resultados (e adicionando a constante de integração C) obtemos a primitiva completa.

Passo 6

Escrevendo o resultado final de forma limpa:
\frac{2}{5}\ln|x|+\frac{3}{5}\ln|x-5|+\frac{1}{x}+C.
Se quiser, podemos combinar os dois logaritmos como \dfrac{1}{5}\ln\left(|x|^{2}|x-5|^{3}\right), mas a forma separada costuma ser mais clara na prova.

Resposta

\frac{2}{5}\ln|x|+\frac{3}{5}\ln|x-5|+\frac{1}{x}+C

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