Calcule as seguintes integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- O numerador é
. - O denominador é
. - Note que o denominador fatoriza como
, logo os pontos e são pontos onde a função integrando não está definida.
Passo 2
Escolha do método: vamos decompor a função racional em frações parciais (outra forma de dizer: escrever como soma de frações simples) porque temos uma razão de polinômios em que o grau do numerador é menor que o do denominador e o denominador fatoriza em fatores lineares (com multiplicidade). Isso torna a decomposição em termos do tipo
natural e simples.
Explicação rápida do porquê: para um fator
(multiplicidade 2) precisamos de termos
. Para um fator simples
precisamos de
.
Portanto supomos que
Passo 3
Eliminamos denominadores multiplicando ambos os lados por
. Assim obtemos a identidade polinomial
Vamos usar valores convenientes de
para achar
de forma direta (método rápido e didático):
- Tomando
:
- Tomando
:
- Para achar
podemos usar a igualdade dos coeficientes de ou simplesmente substituir os valores encontrados numa das equações. A forma mais direta é comparar o coeficiente de na identidade original: do lado direito os coeficientes de são (de ), mais (de ), logo
Com
obtemos
Resumo dos coeficientes:
Passo 4
Reescrevemos a integral usando a decomposição obtida:
Portanto
Passo 5
Agora integramos termo a termo, lembrando das fórmulas básicas:
-
. Aqui é importante o valor absoluto porque o logaritmo natural exige argumento positivo; a constante de integração absorve sinais, mas matematicamente escrevemos . -
. Em particular, . -
(mudança linear no argumento do log).
Aplicando essas regras:
Somando os resultados (e adicionando a constante de integração
) obtemos a primitiva completa.
Passo 6
Escrevendo o resultado final de forma limpa:
Se quiser, podemos combinar os dois logaritmos como
, mas a forma separada costuma ser mais clara na prova.