Ache a área da região da seguinte forma:
i) expresse a medida da área como o limite de uma soma de Riemann com partições regulares;
ii) expresse esse limite com a notação de integral definida;
iii) calcule a integral aplicando o limite.
Limitada pela curva y=12-x-x^{2} e pelas retas x=-3 e x=2;

Passo 1

O enunciado pede que se encontre a área da região limitada pela curva y=12-x-x^{2} e pelas retas verticais x=-3 e x=2. As perguntas específicas são:
  • (i) expressar a medida da área como o limite de uma soma de Riemann com partições regulares;
  • (ii) escrever esse limite usando a notação de integral definida;
  • (iii) calcular a integral aplicando o limite (ou seja, efetuar o cálculo da integral).
Informações dadas:
  • A função que limita a região é y=12-x-x^{2}.
  • Os limites verticais são x=-3 (à esquerda) e x=2 (à direita).
  • A região considerada é a “faixa” entre as retas x=-3 e x=2 sob o gráfico de y=12-x-x^{2} (vamos verificar mais adiante que a função é não negativa nesse intervalo, então a área é a integral da própria função).

Passo 2

Definição e ideia do que vamos aproximar com soma de Riemann (explicação didática).
  • Para medir a área sob a curva entre x=-3 e x=2 dividimos o intervalo [-3,2] em n subintervalos de mesmo comprimento (partição regular).
  • O comprimento de cada subintervalo é
\Delta x=\frac{2-(-3)}{n}=\frac{5}{n}.
  • Seja x_{i} o ponto esquerdo do i-ésimo subintervalo e x_i^{*} um ponto de amostragem dentro desse subintervalo. Uma escolha conveniente e comum é usar os extremos diretos: por exemplo, tomar x_i^{*}=-3+i\Delta x (pontos à direita) com i=1,2,\dots,n.
  • A área aproximada por retângulos (cada retângulo de base \Delta x e altura f(x_i^{*})) é
A_{n}=\sum_{i=1}^{n} f(x_i^{*})\,\Delta x,
onde f(x)=12-x-x^{2}.
  • O significado: conforme n cresce, \Delta x fica pequeno e a soma A_{n} aproxima melhor a área verdadeira; o valor exato é o limite quando n\to\infty.

Passo 3

Escrever explicitamente a soma de Riemann com partições regulares (resposta do item (i)).
  • Tomando x_i^{*}=-3+i\frac{5}{n} (pontos à direita) temos a soma
A_{n}=\sum_{i=1}^{n}\left(12-\left(-3+i\frac{5}{n}\right)-\left(-3+i\frac{5}{n}\right)^{2}\right)\cdot\frac{5}{n}.
  • O valor da área é o limite dessa soma quando n\to\infty:
\text{Área}=\lim_{n\to\infty} A_{n} =\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\left(12-\left(-3+i\frac{5}{n}\right)-\left(-3+i\frac{5}{n}\right)^{2}\right)\cdot\frac{5}{n}.Á

Passo 4

Converter a soma de Riemann na notação de integral definida (resposta do item (ii)) e justificar por que isso é válido.
  • Pelo teorema que define a integral de Riemann, esse limite de somas de Riemann coincide com a integral definida quando a função é integrável (aqui uma polinomial, que é integrável).
  • Assim podemos escrever diretamente:
\text{Área}=\int_{-3}^{2}\bigl(12-x-x^{2}\bigr)\,dx.Á
  • Observação simples e útil: verifique se a função é não negativa no intervalo (para não precisar tomar valor absoluto). Calculando nos extremos:
f(-3)=12-(-3)-(-3)^{2}=12+3-9=6>0, \qquad f(2)=12-2-4=6>0.
Como a parábola abre para baixo e o valor máximo está entre -3 e 2, a função é positiva em todo o intervalo, logo a integral acima realmente representa a área (sem necessidade de separar partes negativas).

Passo 5

Cálculo da integral termo a termo (início do item (iii) — antiderivada).
  • Integramos cada termo separadamente. Recordando que:
    • \displaystyle \int 12\,dx=12x+C,
    • \displaystyle \int (-x)\,dx=-\frac{x^{2}}{2}+C,
    • \displaystyle \int (-x^{2})\,dx=-\frac{x^{3}}{3}+C.
  • Assim uma primitiva de f(x)=12-x-x^{2} é
F(x)=12x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites e calcular a diferença (conclusão do item (iii)).
  • Pela regra da integral definida:
\int_{-3}^{2}\bigl(12-x-x^{2}\bigr)\,dx=F(2)-F(-3).
  • Calculemos F(2):
F(2)=12\cdot 2-\frac{2^{2}}{2}-\frac{2^{3}}{3}=24-2-\frac{8}{3}=22-\frac{8}{3}=\frac{58}{3}.
  • Calculemos F(-3):
F(-3)=12\cdot(-3)-\frac{(-3)^{2}}{2}-\frac{(-3)^{3}}{3}=-36-\frac{9}{2}+9=-27-\frac{9}{2}=-\frac{63}{2}.
  • Subtraindo:
F(2)-F(-3)=\frac{58}{3}-\left(-\frac{63}{2}\right)=\frac{58}{3}+\frac{63}{2}=\frac{116+189}{6}=\frac{305}{6}.

Resposta

\dfrac{305}{6}

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