Ache a área da região da seguinte forma:
i) expresse a medida da área como o limite de uma soma de Riemann com partições regulares;
ii) expresse esse limite com a notação de integral definida;
iii) calcule a integral aplicando o limite.
Limitada pela curva
e pelas retas
e
;
i) expresse a medida da área como o limite de uma soma de Riemann com partições regulares;
ii) expresse esse limite com a notação de integral definida;
iii) calcule a integral aplicando o limite.
Limitada pela curva
Passo 1
O enunciado pede que se encontre a área da região limitada pela curva
e pelas retas verticais
e
. As perguntas específicas são:
- (i) expressar a medida da área como o limite de uma soma de Riemann com partições regulares;
- (ii) escrever esse limite usando a notação de integral definida;
- (iii) calcular a integral aplicando o limite (ou seja, efetuar o cálculo da integral).
Informações dadas:
- A função que limita a região é
. - Os limites verticais são
(à esquerda) e (à direita). - A região considerada é a “faixa” entre as retas
e sob o gráfico de (vamos verificar mais adiante que a função é não negativa nesse intervalo, então a área é a integral da própria função).
Passo 2
Definição e ideia do que vamos aproximar com soma de Riemann (explicação didática).
- Para medir a área sob a curva entre
e dividimos o intervalo em subintervalos de mesmo comprimento (partição regular). - O comprimento de cada subintervalo é
- Seja
o ponto esquerdo do -ésimo subintervalo e um ponto de amostragem dentro desse subintervalo. Uma escolha conveniente e comum é usar os extremos diretos: por exemplo, tomar (pontos à direita) com . - A área aproximada por retângulos (cada retângulo de base
e altura ) é
onde
.
- O significado: conforme
cresce, fica pequeno e a soma aproxima melhor a área verdadeira; o valor exato é o limite quando .
Passo 3
Escrever explicitamente a soma de Riemann com partições regulares (resposta do item (i)).
- Tomando
(pontos à direita) temos a soma
- O valor da área é o limite dessa soma quando
:
Passo 4
Converter a soma de Riemann na notação de integral definida (resposta do item (ii)) e justificar por que isso é válido.
- Pelo teorema que define a integral de Riemann, esse limite de somas de Riemann coincide com a integral definida quando a função é integrável (aqui uma polinomial, que é integrável).
- Assim podemos escrever diretamente:
- Observação simples e útil: verifique se a função é não negativa no intervalo (para não precisar tomar valor absoluto). Calculando nos extremos:
Como a parábola abre para baixo e o valor máximo está entre
e
, a função é positiva em todo o intervalo, logo a integral acima realmente representa a área (sem necessidade de separar partes negativas).
Passo 5
Cálculo da integral termo a termo (início do item (iii) — antiderivada).
- Integramos cada termo separadamente. Recordando que:
-
, -
, -
.
-
- Assim uma primitiva de
é
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites e calcular a diferença (conclusão do item (iii)).
- Pela regra da integral definida:
- Calculemos
:
- Calculemos
:
- Subtraindo: