Use a definição de Área para calcular a área da região dada:
A região acima do eixo
e à esquerda da reta
, limitada pelo eixo
, a reta
e a curva
;
A região acima do eixo
Passo 1
O enunciado pede a área da região que satisfaz simultaneamente as condições abaixo:
- a curva é
; - a região está acima do eixo
(ou seja, ); - a região está à esquerda da reta
(ou seja, ); - a região é limitada pelo eixo
, pela reta e pela curva .
Pergunta explícita: calcular a área dessa região.
Passo 2
Precisamos identificar para quais valores de
a região existe (intervalo de integração). A região é limitada pelo eixo
e pela curva
; portanto os pontos de interseção entre a curva e o eixo
são importantes. Vamos achar esses pontos resolvendo
Resolvendo,
Para
temos
, ou seja, a curva fica acima do eixo
. Como a região também está limitada à esquerda pela reta
(i.e. consideramos apenas
), o intervalo de
que cobre a região é
Portanto o domínio projetado no eixo
da região é o intervalo
.
Passo 3
Lembrando a definição prática de área usada aqui: se uma região é limitada abaixo pelo eixo
(ou por uma curva com valor zero) e acima por uma função contínua
no intervalo
, então a área
dessa região é dada pela integral
Intuição: somamos (integrando) pequenas tiras verticais de base infinitesimal
e altura
; a integral soma a área dessas tiras.
Passo 4
No nosso caso a função superior é
e a função inferior (o chão) é o eixo
, ou seja
. Pelo passo anterior, o intervalo é
. Então montamos a integral da área:
Passo 5
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva de
. Sabendo que
e
, obtemos uma primitiva
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Passo 6
Calculemos
e
:
Agora a diferença:
Esse valor é positivo e faz sentido (área de uma região finita).