Use a definição de Área para calcular a área da região dada:
A região acima do eixo x e à esquerda da reta x=1, limitada pelo eixo x, a reta x=1 e a curva y=4-x^{2};

Passo 1

O enunciado pede a área da região que satisfaz simultaneamente as condições abaixo:
  • a curva é y=4-x^{2};
  • a região está acima do eixo x (ou seja, y\ge0);
  • a região está à esquerda da reta x=1 (ou seja, x\le1);
  • a região é limitada pelo eixo x, pela reta x=1 e pela curva y=4-x^{2}.
Pergunta explícita: calcular a área dessa região.

Passo 2

Precisamos identificar para quais valores de x a região existe (intervalo de integração). A região é limitada pelo eixo x e pela curva y=4-x^{2}; portanto os pontos de interseção entre a curva e o eixo x são importantes. Vamos achar esses pontos resolvendo
4-x^{2}=0.
Resolvendo,
x^{2}=4\quad\Rightarrow\quad x=\pm 2.
Para x\in[-2,2] temos 4-x^{2}\ge0, ou seja, a curva fica acima do eixo x. Como a região também está limitada à esquerda pela reta x=1 (i.e. consideramos apenas x\le1), o intervalo de x que cobre a região é
-2\le x\le 1.
Portanto o domínio projetado no eixo x da região é o intervalo [-2,1].

Passo 3

Lembrando a definição prática de área usada aqui: se uma região é limitada abaixo pelo eixo x (ou por uma curva com valor zero) e acima por uma função contínua f(x)\ge0 no intervalo [a,b], então a área A dessa região é dada pela integral
A=\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Intuição: somamos (integrando) pequenas tiras verticais de base infinitesimal dx e altura f(x); a integral soma a área dessas tiras.

Passo 4

No nosso caso a função superior é f(x)=4-x^{2} e a função inferior (o chão) é o eixo x, ou seja y=0. Pelo passo anterior, o intervalo é [-2,1]. Então montamos a integral da área:
A=\int_{-2}^{1} \bigl(4-x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro achamos uma primitiva de 4-x^{2}. Sabendo que \int 4\,dx=4x e \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}, obtemos uma primitiva
F(x)=4x-\frac{x^{3}}{3}.
Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
A=F(1)-F(-2).

Passo 6

Calculemos F(1) e F(-2):
F(1)=4\cdot 1-\frac{1^{3}}{3}=4-\frac{1}{3}=\frac{12-1}{3}=\frac{11}{3}.
F(-2)=4\cdot(-2)-\frac{(-2)^{3}}{3}=-8-\frac{-8}{3}=-8+\frac{8}{3}=\frac{-24+8}{3}=-\frac{16}{3}.
Agora a diferença:
A=F(1)-F(-2)=\frac{11}{3}-\left(-\frac{16}{3}\right)=\frac{11}{3}+\frac{16}{3}=\frac{27}{3}=9.
Esse valor é positivo e faz sentido (área de uma região finita).

Resposta

9

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