Calcule \int \frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{\sqrt{x}} d x por dois métodos:
a) expandindo (\sqrt{x}-1)^{2} e multiplicando o resultado por x^{-1 / 2};
b) tomando u=\sqrt{x}-1
c) Explique a diferença entre as respostas de a) e b).

Passo 1

O que o problema pede e o que está dado:
  • Calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{\sqrt{x}}\,dx por dois métodos:
    • (a) expandindo (\sqrt{x}-1)^{2} e multiplicando por x^{-1/2};
    • (b) fazendo a substituição u=\sqrt{x}-1.
  • Depois (c) explicar a diferença entre as respostas obtidas nos itens (a) e (b).
Informações relevantes dadas: a função a integrar é \dfrac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{\sqrt{x}}. A integral é indefinida (há constante de integração).

Passo 2

Lembretes úteis (fórmulas e ideias que vou usar) — explicadinhas:
  • Regra do poder para integrar: para n\neq-1, \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.Aqui x é a variável de integração, n é o expoente; o +C é a constante de integração.
  • Substituição (trocar variável): se u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então podemos reescrever a integral em termos de u usando dx expresso por du. É a técnica que simplifica expressões compostas.

Passo 3

Método (a) — expandindo e integrando termo a termo.
  1. Expandir (\sqrt{x}-1)^{2}:
(\sqrt{x}-1)^{2}=x-2\sqrt{x}+1.
  1. Dividir por \sqrt{x} (ou multiplicar por x^{-1/2}):
\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{\sqrt{x}}=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} -2\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}}.
  1. Simplificar cada termo usando \sqrt{x}=x^{1/2}:
\frac{x}{\sqrt{x}}=x^{1-\tfrac{1}{2}}=x^{1/2}=\sqrt{x}, \qquad 2\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2, \qquad \frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}.
Portanto a integranda fica
\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}-2+x^{-1/2}.
  1. Integrar termo a termo usando a regra do poder:
\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}}=\frac{2}{3}x^{3/2},
\int (-2)\,dx=-2x,
\int x^{-1/2}\,dx=\frac{x^{1/2}}{\tfrac{1}{2}}=2x^{1/2}.
  1. Somando tudo e colocando a constante de integração C:
\boxed{F_a(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x+2x^{1/2}+C.}

Passo 4

Método (b) — substituição u=\sqrt{x}-1.
  1. Fazer a substituição e relacionar dx e du. Defina
u=\sqrt{x}-1.
Então \sqrt{x}=u+1. Diferenciando ambos os lados em relação a x:
du=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,dx=\frac{1}{2(u+1)}\,dx.
Isolando dx:
dx=2(u+1)\,du.
  1. Reescrever a integranda em termos de u. O numerador (\sqrt{x}-1)^{2} vira u^{2}; o denominador \sqrt{x} vira u+1. Assim
\frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{u^{2}}{u+1}\cdot dx.
Substituindo dx=2(u+1)\,du:
\frac{u^{2}}{u+1}\cdot 2(u+1)\,du = 2u^{2}\,du.
  1. A integral fica muito simples:
\int \frac{(\sqrt{x}-1)^{2}}{\sqrt{x}}\,dx = \int 2u^{2}\,du = 2\cdot\frac{u^{3}}{3}+C=\frac{2}{3}u^{3}+C.
  1. Voltar para x substituindo u=\sqrt{x}-1:
\boxed{F_b(x)=\frac{2}{3}(\sqrt{x}-1)^{3}+C.}

Passo 5

Comparação das duas respostas e explicação da diferença (item c).
  1. Expandir F_b(x) para comparar com F_a(x):
\frac{2}{3}(\sqrt{x}-1)^{3}=\frac{2}{3}\big(x^{3/2}-3x+3x^{1/2}-1\big) =\frac{2}{3}x^{3/2}-2x+2x^{1/2}-\frac{2}{3}.
  1. Comparando com F_a(x)=\dfrac{2}{3}x^{3/2}-2x+2x^{1/2}+C, vê-se que
F_b(x)=F_a(x)-\frac{2}{3}\quad\text{(se escolhermos a mesma constante \(C\)).}
  1. Conclusão explicada de forma didática e simples: integrais indefinidas são determinadas apenas até uma constante aditiva. Isso significa que duas primitivas que diferem por uma constante representam a mesma família de primitivas. No nosso caso as primitivas obtidas pelos métodos (a) e (b) diferem pela constante -\tfrac{2}{3}. Portanto ambas estão corretas — basta ajustar a constante de integração para torná-las idênticas.
Dica prática para a prova: se uma primitiva parecer diferente da outra, tente expandir ou simplificar para verificar se a diferença é apenas uma constante; isso resolve a maioria das aparentes contradições.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{2}{3}x^{3/2}-2x+2x^{1/2}+C
(b) \displaystyle \frac{2}{3}(\sqrt{x}-1)^{3}+C
(c) As duas primitivass diferem por uma constante: \displaystyle \frac{2}{3}(\sqrt{x}-1)^{3}=\frac{2}{3}x^{3/2}-2x+2x^{1/2}-\frac{2}{3}, logo são equivalentes como soluções de uma integral indefinida.

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