Calcule
por dois métodos:
a) expandindo
e multiplicando o resultado por
;
b) tomando
c) Explique a diferença entre as respostas de a) e b).
a) expandindo
b) tomando
c) Explique a diferença entre as respostas de a) e b).
Passo 1
O que o problema pede e o que está dado:
- Calcular a integral indefinida
por dois métodos: - (a) expandindo
e multiplicando por ; - (b) fazendo a substituição
.
- (a) expandindo
- Depois (c) explicar a diferença entre as respostas obtidas nos itens (a) e (b).
Informações relevantes dadas: a função a integrar é
. A integral é indefinida (há constante de integração).
Passo 2
Lembretes úteis (fórmulas e ideias que vou usar) — explicadinhas:
- Regra do poder para integrar: para
, Aqui é a variável de integração, é o expoente; o é a constante de integração. - Substituição (trocar variável): se
e , então podemos reescrever a integral em termos de usando expresso por . É a técnica que simplifica expressões compostas.
Passo 3
Método (a) — expandindo e integrando termo a termo.
- Expandir
:
- Dividir por
(ou multiplicar por ):
- Simplificar cada termo usando
:
Portanto a integranda fica
- Integrar termo a termo usando a regra do poder:
- Somando tudo e colocando a constante de integração
:
Passo 4
Método (b) — substituição
.
- Fazer a substituição e relacionar
e . Defina
Então
. Diferenciando ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
- Reescrever a integranda em termos de
. O numerador vira ; o denominador vira . Assim
Substituindo
:
- A integral fica muito simples:
- Voltar para
substituindo :
Passo 5
Comparação das duas respostas e explicação da diferença (item c).
- Expandir
para comparar com :
- Comparando com
, vê-se que
- Conclusão explicada de forma didática e simples: integrais indefinidas são determinadas apenas até uma constante aditiva. Isso significa que duas primitivas que diferem por uma constante representam a mesma família de primitivas. No nosso caso as primitivas obtidas pelos métodos (a) e (b) diferem pela constante
. Portanto ambas estão corretas — basta ajustar a constante de integração para torná-las idênticas.
Dica prática para a prova: se uma primitiva parecer diferente da outra, tente expandir ou simplificar para verificar se a diferença é apenas uma constante; isso resolve a maioria das aparentes contradições.
Resposta
(a)
(b)
(c) As duas primitivass diferem por uma constante:
, logo são equivalentes como soluções de uma integral indefinida.