Calcule as seguintes integrais duplas sobre as regiões R dadas:
f(x, y)=y \sin (x y), R=[1,2]^{*}[0, \pi].

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y\sin(xy)\,dA
sobre o retângulo R=[1,2]\times[0,\pi]. Vamos usar o Teorema de Fubini para separar as integrais e escolher a ordem que simplifique o cálculo.

Passo 2

Aplicando Fubini e integrando primeiro em x, escrevemos
\iint_{R} y\sin(xy)\,dA = \int_{y=0}^{\pi}\Bigl[\int_{x=1}^{2}y\sin(xy)\,dx\Bigr]dy.
Como y é constante na integral interna, fica
\int_{x=1}^{2}y\sin(xy)\,dx = y\int_{1}^{2}\sin(xy)\,dx.

Passo 3

Para a primitiva de \sin(xy) em relação a x usamos
\int \sin(xy)\,dx =-\frac{1}{y}\cos(xy).
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\int_{1}^{2}\sin(xy)\,dx =-\frac{1}{y}\bigl[\cos(2y)-\cos(y)\bigr] =\frac{1}{y}\bigl(\cos y-\cos 2y\bigr).

Passo 4

Voltando à integral dupla, multiplicamos por y:
\iint_{R} y\sin(xy)\,dA =\int_{0}^{\pi}y\cdot\frac{1}{y}\bigl(\cos y-\cos 2y\bigr)\,dy =\int_{0}^{\pi}\bigl(\cos y-\cos 2y\bigr)\,dy.

Passo 5

Agora basta integrar termo a termo:
\int_{0}^{\pi}\cos y\,dy =\sin y\Big|_{0}^{\pi} =0,
\int_{0}^{\pi}\cos2y\,dy =\frac{1}{2}\sin(2y)\Big|_{0}^{\pi} =0.
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\int_{0}^{\pi}(\cos y-\cos2y)\,dy=0-0=0.

Resposta

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