Ache as assíntotas do gráfico da função e faça um esboço do gráfico.
f(x)=x^3-4x^2

Passo 1

Estamos analisando a função f(x)=x^3-4x^2. O conteúdo envolve domínio da função, limites laterais para assíntotas verticais, divisão de polinômios para assíntota oblíqua e análise de derivada para esboçar o gráfico.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio. Como o denominador x^2 não pode ser zero, o domínio é Rsetminus0.

Passo 3

Para achar a assíntota vertical em x=0, calculamos os limites laterais: como x^3 é desprezível perto de zero, o termo dominante é -4/x^2, que tende a -infty quando xto0^+ e também quando xto0^-. Logo, x=0 é assíntota vertical.

Passo 4

Como o grau do numerador (3) excede em 1 o grau do denominador (2), buscamos uma assíntota oblíqua fazendo a divisão de polinômios:
x^3-4x^2=x+-4x^2,que mostra que f(x)=x-4/x^2 e, portanto, a reta y=x é assíntota oblíqua.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, analisamos a derivada:
f'(x)=1+8x^3,

Passo 6

Resolvendo f'(x)=0 obtemos x^3=-8 e x=-2. O ponto crítico é (-2,f(-2))=(-2,-3), que é um máximo local. Observamos que para x>0, f'(x)>0 (função crescente) e para -2, f'(x)<0 (decrescente), voltando a crescer em x<-2.

Passo 7

Comportamento final do esboço: em xto-infty, f(x)to y=x por baixo; sobe até (-2,-3); cai para -infty quando xto0^-; sai de -infty em xto0^+; cresce monotonamente aproximando-se de y=x por baixo quando xto+infty.

Resposta

As assíntotas são:
vertical: x=0
oblíqua: y=x
No esboço há dois ramos separados por x=0:
  • Para x<0: curva se aproxima de y=x por baixo em xto-infty, sobe até o máximo local em (-2,-3) e cai para -infty em xto0^-.
  • Para x>0: curva sai de -infty em xto0^+ e cresce sempre, aproximando-se de y=x por baixo em xto+infty.

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