Ache as assíntotas do gráfico da função e faça um esboço do gráfico.
Passo 1
Estamos analisando a função
. O conteúdo envolve domínio da função, limites laterais para assíntotas verticais, divisão de polinômios para assíntota oblíqua e análise de derivada para esboçar o gráfico.
Passo 2
Primeiro determinamos o domínio. Como o denominador
não pode ser zero, o domínio é
.
Passo 3
Para achar a assíntota vertical em
, calculamos os limites laterais: como
é desprezível perto de zero, o termo dominante é
, que tende a
quando
e também quando
. Logo,
é assíntota vertical.
Passo 4
Como o grau do numerador (3) excede em 1 o grau do denominador (2), buscamos uma assíntota oblíqua fazendo a divisão de polinômios:
Passo 5
Para esboçar o gráfico, analisamos a derivada:
Passo 6
Resolvendo
obtemos
e
. O ponto crítico é
, que é um máximo local. Observamos que para
,
(função crescente) e para
,
(decrescente), voltando a crescer em
.
Passo 7
Comportamento final do esboço: em
,
por baixo; sobe até
; cai para
quando
; sai de
em
; cresce monotonamente aproximando-se de
por baixo quando
.
Resposta
As assíntotas são:
vertical:
oblíqua:
vertical:
oblíqua:
No esboço há dois ramos separados por
:
- Para
: curva se aproxima de por baixo em , sobe até o máximo local em e cai para em . - Para
: curva sai de em e cresce sempre, aproximando-se de por baixo em .