Nos exercícios abaixo derive as funções dadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} $. Vou te explicar passo a passo como fazer isso. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. A função é um quociente, ou seja, tem um numerador e um denominador:
- Numerador: $ \sqrt{x^{2} - 1} $, que também pode ser escrito como $ (x^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} $
- Denominador: $ x $
Passo 3
Para derivar um quociente, usamos a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada é:
Então, vamos identificar $ u $ e $ v $:
- $ u = \sqrt{x^{2} - 1} = (x^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} $
- $ v = x $
Passo 4
Agora, vamos derivar $ u $ e $ v $:
- Para $ u = (x^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} $, usamos a Regra da Cadeia:
- Para $ v = x $, a derivada é simples:
Passo 5
Aplicando agora a Regra do Quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Passo 7
Para simplificar ainda mais, podemos colocar os termos do numerador com o mesmo denominador:
Portanto:
Resposta
A derivada da função é: