Nos exercícios abaixo derive as funções dadas:
f(x)=raizx^2-1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} $. Vou te explicar passo a passo como fazer isso. Vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que precisamos derivar. A função é um quociente, ou seja, tem um numerador e um denominador:
  • Numerador: $ \sqrt{x^{2} - 1} $, que também pode ser escrito como $ (x^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} $
  • Denominador: $ x $

Passo 3

Para derivar um quociente, usamos a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função $ \frac{u}{v} $, a derivada é:
uv
Então, vamos identificar $ u $ e $ v $:
  • $ u = \sqrt{x^{2} - 1} = (x^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} $
  • $ v = x $

Passo 4

Agora, vamos derivar $ u $ e $ v $:
  • Para $ u = (x^{2} - 1)^{\frac{1}{2}} $, usamos a Regra da Cadeia:
u
  • Para $ v = x $, a derivada é simples:
v

Passo 5

Aplicando agora a Regra do Quociente:
f'(x) = u'v - uv'v^2 = ( xraizx^2 - 1 ) cdot x - raizx^2 - 1 cdot 1x^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
( xraizx^2 - 1 ) cdot x = x^2raizx^2 - 1
Então:
f'(x) = x^2raizx^2 - 1 - raizx^2 - 1x^2

Passo 7

Para simplificar ainda mais, podemos colocar os termos do numerador com o mesmo denominador:
x^2 - (x^2 - 1)raizx^2 - 1 = 1raizx^2 - 1
Portanto:
f'(x) = 1raizx^2 - 1 cdot x^2

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 1x^2 raizx^2 - 1

Exercícios relacionados