Ache os autovalores e autovetores associados as respectivas transformações lineares.
T: P2(R) P2(R) tal que T(a+b t+c t^2)=b+a t+c t^2.

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P2(R)to P2(R) por
Tl(a + b,t + c,t^2r) ;=; b + a,t + c,t^2
Queremos encontrar os autovalores lambda e os autovetores p(t)neq0 tais que
Tl(p(t)r) ;=; lambda,p(t)
Para isso, vamos usar a base canônica 1,t,t^2, montar a matriz de T, achar o polinômio característico e resolver para cada lambda o sistema (T - lambda I)p=0.

Passo 2

Na base 1,t,t^2 temos
T(1)=t, T(t)=1 e T(t^2)=t^2. Logo a matriz de T é
A ;=; 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I).
A - lambda I = -lambda & 1 & 0 1 & -lambda & 0 0 & 0 & 1-lambda ,
det(A - lambda I) = l((-lambda)(-lambda) - 1r),(1-lambda) = (lambda^2-1),(1-lambda)
As raízes são
lambda = 1 (multiplicidade algébrica 2) e lambda = -1.

Passo 4

Para lambda=1 resolvemos (A - I)x=0, i.e.
-lambda = -1 nas duas primeiras linhas dá
-;1cdot a + b = 0, a - 1cdot b = 0, (1-1)c=0
que implicam b=a e c livre. Assim
p(t)=a + a,t + c,t^2 = a,(1+t) + c,t^2,
e o espaço próprio de lambda=1 é span1+t,;t^2.
Para lambda=-1 resolvemos (A + I)x=0, i.e.
-;(-1),a + b = 0, a -(-1),b=0, (1+1)c=0
que dão b=-a e c=0. Logo
p(t)=a - a,t = a,(1-t),
e o espaço próprio de lambda=-1 é span1-t.

Passo 5

Resumindo, os autovalores e autovetores (bases dos espaços próprios) são:
lambda=1 com espaço próprio gerado por 1+t,;t^2,
lambda=-1 com espaço próprio gerado por 1-t.

Resposta

Autovalores:
lambda1=1 (mult.\ alg.\ 2), lambda2=-1 (mult.\ alg.\ 1).
Eigenspaces:
lambda=1: span,1+t,;t^2,
lambda=-1: span,1-t.

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