Encontre todos os autovalores e autovetores das matrizes abaixo:
Passo 1
O problema pede para determinarmos todos os autovalores lambda e autovetores não-nulos v da matriz
A = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 1 1 & 2 & 2
Conteúdo: autovalores e autovetores de matrizes. Vamos usar o determinante de A - lambda I para achar o polinômio característico, resolver det(A-lambda I)=0 e depois achar, para cada lambda, as soluções não-triviais de (A-lambda I)v=0.
Passo 2
Escrevemos A-lambda I e calculamos o determinante:
Testes de raízes racionais (pm1,pm7) falham, o que mostra que não há raízes inteiras. O discriminante é negativo, então há um autovalor real e dois complexos conjugados. Resolvendo numericamente (ou via fórmula de Cardano) obtemos, aproximadamente,
Vamos achar um autovetor associado ao autovalor real
Numericamente,
daí do sistema
vemos que . Tomando , um autovetor é
Passo 5
Para os autovalores complexos lambda2,3=1,335pm0,565,i, procedemos do mesmo modo em (A-lambda I)v=0. Cada sistema dá uma família unidimensional de vetores complexos conjugados. Por exemplo, para lambda2=1,335+0,565,i um autovetor é, após resolver numericamente,