Encontre todos os autovalores e autovetores das matrizes abaixo:
(ccc1 & -1 & 0 2 & 3 & 1 1 & 2 & 2)

Passo 1

O problema pede para determinarmos todos os autovalores lambda e autovetores não-nulos v da matriz
A = 1 & -1 & 0 2 & 3 & 1 1 & 2 & 2
Conteúdo: autovalores e autovetores de matrizes. Vamos usar o determinante de A - lambda I para achar o polinômio característico, resolver det(A-lambda I)=0 e depois achar, para cada lambda, as soluções não-triviais de (A-lambda I)v=0.

Passo 2

Escrevemos A-lambda I e calculamos o determinante:
A-lambda I = 1-lambda & -1 & 0 2 & 3-lambda & 1 1 & 2 & 2-lambda
Expandindo por cofactores na primeira linha obtemos
det(A-lambda I) = (1-lambda)det3-lambda&12&2-lambda -(-1)det2&11&2-lambda
Calcula-se
det3-lambda&12&2-lambda =(3-lambda)(2-lambda)-2 =lambda^2-5lambda+4,
det2&11&2-lambda =2(2-lambda)-1=3-2lambda
Logo
det(A-lambda I) =(1-lambda)(lambda^2-5lambda+4)+(3-2lambda) =-lambda^3+6lambda^2-11lambda+7

Passo 3

O polinômio característico é
-lambda^3+6lambda^2-11lambda+7=0 Long<=ftrightarrow lambda^3-6lambda^2+11lambda-7=0
Testes de raízes racionais ( pm1,pm7) falham, o que mostra que não há raízes inteiras. O discriminante é negativo, então há um autovalor real e dois complexos conjugados. Resolvendo numericamente (ou via fórmula de Cardano) obtemos, aproximadamente,
lambda1approx3,330,, lambda2,3approx1,335pm0,565,i

Passo 4

Vamos achar um autovetor associado ao autovalor real
Numericamente,
daí do sistema
vemos que . Tomando , um autovetor é

Passo 5

Para os autovalores complexos lambda2,3=1,335pm0,565,i, procedemos do mesmo modo em (A-lambda I)v=0. Cada sistema dá uma família unidimensional de vetores complexos conjugados. Por exemplo, para lambda2=1,335+0,565,i um autovetor é, após resolver numericamente,
v2 approx 1 -1,348 +0,424,i -0,805 -1,003,i ,
e v3=v2 para lambda3.

Resposta

Autovalores (aprox.):
lambda1approx3,330, lambda2approx1,335+0,565,i, lambda3approx1,335-0,565,i
Autovetores correspondentes (uma escolha de escala):
v1approxsmashl(1,,-2,330,,-2,750r)^T, v2approxsmashl(1,,-1,348+0,424,i,,-0,805-1,003,ir)^T, v3=v2

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