3^a Questão: Dados os planos Pi1: x+2 y-3 z=-2 e Pi2: -y+2 x+4 z=1.
  • Ache a equação do plano que passa pelo ponto O(0,0,0) e contém a reta r:=Pi1 cap Pi2;

Passo 1

O enunciado dá dois planos
Pi1:x+2y-3z=-2, Pi2:-y+2x+4z=1
e pede a equação do plano que passa pela origem O(0,0,0) e contém a reta r=Pi1capPi2.
O conteúdo é geometria analítica em R^3: um plano qualquer que contenha a reta de interseção de Pi1 e Pi2 pertence à família linear
alphal(x+2y-3z+2r) + betal(-y+2x+4z-1r) =0,
e, para que esse plano passe por O, basta ajustar alpha e beta de modo que o termo constante desapareça.

Passo 2

Escrevendo a combinação linear e agrupando termos, temos
alpha,(x+2y-3z+2)+beta,(-y+2x+4z-1)=0
Longrightarrow (alpha+2beta),x+(2alpha-beta),y+(-3alpha+4beta),z+(2alpha-beta)=0

Passo 3

Como o plano deve conter O(0,0,0), o termo independente deve ser zero:
2alpha-beta=0 Longrightarrow beta=2alpha
Substituindo beta=2alpha nos coeficientes de x,y,z, obtemos
coeficiente de x:;alpha+2beta=alpha+4alpha=5alpha, coeficiente de y:;2alpha-beta=2alpha-2alpha=0, coeficiente de z:;-3alpha+4beta=-3alpha+8alpha=5alpha

Passo 4

Podemos escolher alpha=1/5 (ou qualquer outro valor não nulo) para simplificar e eliminar o fator comum, chegando à equação
x+0cdot y+z=0
ou simplesmente
x+z=0

Resposta

A equação do plano que passa por O e contém a reta r é
boxedx+z=0

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