Considere a transformaçäo T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} tal que T(x, y, z)=(x+y, y-z).
(a) (1,0) Prove que T é linear.

Passo 1

O enunciado dá a transformação T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y,z) = (x+y,\; y-z).
A pergunta (a) pede: Prove que T é linear.
Informações relevantes fornecidas:
\text{domínio: }\mathbb{R}^3,\qquad \text{contradomínio: }\mathbb{R}^2,íí
\text{fórmula explícita de }T:\; (x,y,z)\mapsto (x+y,\; y-z).óí

Passo 2

O que significa “ T é linear”? Vou explicar direitinho e sem pressa. Uma aplicação T é linear se satisfaz duas propriedades para todo u,v\in\mathbb{R}^3 e todo escalar c\in\mathbb{R}:
  1. Aditividade:
T(u+v)=T(u)+T(v).
  1. Homogeneidade (compatibilidade com multiplicação por escalar):
T(c\,u)=c\,T(u).
Aqui, quando eu escrevo vetores em \mathbb{R}^3 faço isso por coordenadas: se u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2) então a soma é
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2),
e para escalar c a multiplicação é
c\,u=(c x_1,\; c y_1,\; c z_1).
Vou usar essas definições coordenada a coordenada para verificar as duas propriedades acima.

Passo 3

Verificação da aditividade T(u+v)=T(u)+T(v).
Sejam u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Primeiro calculo u+v:
u+v=(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Aplico T em u+v:
T(u+v)=T(x_1+x_2,\; y_1+y_2,\; z_1+z_2).
Pela definição de T,
T(u+v)=\big((x_1+x_2)+(y_1+y_2),\; (y_1+y_2)-(z_1+z_2)\big).
Agrupando termos:
T(u+v)=\big((x_1+y_1)+(x_2+y_2),\; (y_1-z_1)+(y_2-z_2)\big).
Mas \big(x_1+y_1,\; y_1-z_1\big)=T(u) e \big(x_2+y_2,\; y_2-z_2\big)=T(v). Logo
T(u+v)=T(u)+T(v).
Assim a propriedade da aditividade está comprovada.

Passo 4

Verificação da homogeneidade T(c\,u)=c\,T(u).
Seja c\in\mathbb{R} e u=(x_1,y_1,z_1). Primeiro c\,u=(c x_1,\; c y_1,\; c z_1). Aplico T em c\,u:
T(c\,u)=T(c x_1,\; c y_1,\; c z_1).
Pela definição de T,
T(c\,u)=\big(c x_1 + c y_1,\; c y_1 - c z_1\big).
Fatorando c em cada coordenada:
T(c\,u)=\big(c(x_1+y_1),\; c(y_1-z_1)\big).
Mas isso é exatamente c vezes o vetor T(u)=\big(x_1+y_1,\; y_1-z_1\big). Ou seja,
T(c\,u)=c\,T(u).
Portanto a homogeneidade está comprovada.

Passo 5

Juntando os resultados dos passos anteriores: provamos que T satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para todos u,v\in\mathbb{R}^3 e todo escalar c\in\mathbb{R}. Essas duas propriedades são a definição de linearidade. Logo T é linear.
Como comentário adicional (só para você fixar a ideia): podemos escrever T como multiplicação por matriz. A matriz associada a T em bases canônicas é
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\[4pt]0 & 1 & -1\end{pmatrix},
pois
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y\\[4pt]y-z\end{pmatrix}=T(x,y,z).
A representação matricial reforça que T é linear, já que multiplicação de matrizes por vetores preserva soma e escalar.]

Resposta

T é linear.

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