Considere a transformaçäo
tal que
.
(a)
Prove que
é linear.
(a)
Passo 1
O enunciado dá a transformação
definida por
A pergunta (a) pede: Prove que
é linear.
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
O que significa “
é linear”? Vou explicar direitinho e sem pressa. Uma aplicação
é linear se satisfaz duas propriedades para todo
e todo escalar
:
- Aditividade:
- Homogeneidade (compatibilidade com multiplicação por escalar):
Aqui, quando eu escrevo vetores em
faço isso por coordenadas: se
e
então a soma é
e para escalar
a multiplicação é
Vou usar essas definições coordenada a coordenada para verificar as duas propriedades acima.
Passo 3
Verificação da aditividade
.
Sejam
e
. Primeiro calculo
:
Aplico
em
:
Pela definição de
,
Agrupando termos:
Mas
e
. Logo
Assim a propriedade da aditividade está comprovada.
Passo 4
Verificação da homogeneidade
.
Seja
e
. Primeiro
. Aplico
em
:
Pela definição de
,
Fatorando
em cada coordenada:
Mas isso é exatamente
vezes o vetor
. Ou seja,
Portanto a homogeneidade está comprovada.
Passo 5
Juntando os resultados dos passos anteriores: provamos que
satisfaz tanto a aditividade quanto a homogeneidade para todos
e todo escalar
. Essas duas propriedades são a definição de linearidade. Logo
é linear.
Como comentário adicional (só para você fixar a ideia): podemos escrever
como multiplicação por matriz. A matriz associada a
em bases canônicas é
pois
A representação matricial reforça que
é linear, já que multiplicação de matrizes por vetores preserva soma e escalar.]
Resposta
T é linear.