Para calcular o determinante, observamos que as entradas da primeira coluna abaixo da primeira linha são zero, então podemos expandir por essa primeira coluna ou notar que o bloco é simples. Fazendo a conta:
e a multiplicidade geométrica de \lambda=1 é \dim E_{1}=2.
Explicação rápida do que fizemos: a multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço de vetores que satisfazem (A-\lambda I)v=0. Encontramos duas variáveis livres, logo dimensão 2.]
e a multiplicidade geométrica de \lambda=3 é \dim E_{3}=1.]
Passo 6
Regra prática para diagonalização (explicação didática): um operador (ou matriz) A em um espaço de dimensão n é diagonalizável se e somente se existe uma base formada por autovetores. Uma verificação prática é comparar multiplicidades algébricas e geométricas: para cada autovalor \lambda, a multiplicidade geométrica \dim E_{\lambda} satisfaz 1\le \dim E_{\lambda}\le multiplicidade algébrica de \lambda. Se, para todos os autovalores, a multiplicidade geométrica for igual à multiplicidade algébrica, então a soma das dimensões dos autespaços é n e existe uma base de autovetores, logo a matriz é diagonalizável.
Como as multiplicidades geométricas coincidem com as algébricas e somam 2+1=3 (a dimensão do espaço), concluímos que existe uma base de \mathbf{R}^{3} formada por autovetores de A.