Ache os autovalores e autovetores das matrizes abaixo. Em seguida, verifique se el diagonalizáveis. Caso sejam diagonalizáveis, determine as matrizes P e D tais que A=P
Conceito importante (rapidinho e prático): um autovalor \lambda e um autovetor v\neq 0 satisfazem
A v = \lambda v,
que é equivalente a
(A-\lambda I)v=0.
Além disso, para matrizes triangulares (superior ou inferior) os autovalores aparecem na diagonal. Ou seja, os autovalores de uma matriz triangular são exatamente os elementos da diagonal, contados com multiplicidade algébrica.
Passo 3
Usando o fato do passo anterior (matriz A é triangular superior), os autovalores são as entradas da diagonal de A:
Escrevendo v=(x_1,x_2,x_3)^{T}, o sistema (A-I)v=0 fornece as equações:
da primeira linha: 0\cdot x_1 + x_2 + x_3 = 0\Rightarrow x_2 = -x_3.
da segunda linha: mesma equação (dependente).
A variável x_1 não aparece nas equações, logo é livre; x_3 também é livre. Tomando parâmetros t e s com x_1=t, x_3=s, obtemos
da primeira linha: -x_1 + x_2 + x_3 = 0. Como x_3=0, temos x_1 = x_2.
Tomando parâmetro t com x_2=t, obtemos x_1=t, x_3=0. Assim os autovetores são múltiplos de
v^{(2)}=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
A multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, que coincide com sua multiplicidade algébrica.]
Passo 6
Diagonalização: uma matriz 3\times3 é diagonalizável se existir uma base de \mathbb{R}^3 (ou \mathbb{C}^3) formada por autovetores, i.e., somatório das multiplicidades geométricas = 3. Aqui temos:
para \lambda=1: dois autovetores independentes,
para \lambda=2: um autovetor,
totalizando 2+1=3 autovetores linearmente independentes. Portanto A é diagonalizável.
Uma maneira prática de construir P é colocar três autovetores independentes como colunas de P. Vamos escolher as colunas na ordem: primeiro os dois autovetores de \lambda=1, depois o autovetor de \lambda=2. Ou seja,
o que foi obtido por eliminação gaussiana. (Não é obrigatório apresentar P^{-1} para declarar a diagonalização, mas está aqui para completar a verificação.)]