Ache os autovalores e autovetores das matrizes abaixo. Em seguida, verifique se el diagonalizáveis. Caso sejam diagonalizáveis, determine as matrizes P e D tais que A=P
A=\left[\begin{array}{rr}3 & -1 \\\ 1 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede diretamente três coisas aplicadas à matriz
A=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
As perguntas são:
  • Encontrar os autovalores de A.
  • Para cada autovalor, achar os autovetores não nulos associados.
  • Verificar se A é diagonalizável; caso seja, determinar as matrizes P e D tais que A = P D P^{-1}.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • A matriz A é 2\times2 com entradas a_{11}=3, a_{12}=-1, a_{21}=1, a_{22}=1.]

Passo 2

O que é autovalor e autovetor (rápido e prático): um número \lambda é autovalor de A se existe um vetor não nulo v tal que
A v = \lambda v.
Isto é equivalente a resolver
(A-\lambda I)v=0,
que tem solução não-trivial exatamente quando
\det(A-\lambda I)=0.
Para trabalhar com determinantes de matrizes 2\times2 lembramos a fórmula: para \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}, \det = ad-bc. Vamos aplicar isso para obter o polinômio característico.

Passo 3

Calcular o polinômio característico \det(A-\lambda I):
A-\lambda I=\begin{pmatrix}3-\lambda & -1\\[4pt]1 & 1-\lambda\end{pmatrix},
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\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(1-\lambda)-(-1)\cdot 1.
Desenvolvendo:
(3-\lambda)(1-\lambda)=3-4\lambda+\lambda^2,
então
\det(A-\lambda I)=3-4\lambda+\lambda^2+1=\lambda^2-4\lambda+4.]

Passo 4

Fatorando o polinômio característico:
\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2.
Portanto o único autovalor é
\lambda=2,
com multiplicidade algébrica igual a 2 (é raiz dupla do polinômio característico).

Passo 5

Agora vamos achar os autovetores associados a \lambda=2\). Devemos resolver \[(A-2I)v=0.
Compute A-2I:
A-2I=\begin{pmatrix}3-2 & -1\\[4pt]1 & 1-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Escrevendo o sistema linear para v=(x,y)^T:
\begin{cases} 1\cdot x -1\cdot y = 0,\\[4pt] 1\cdot x -1\cdot y = 0. \end{cases}
As duas equações são iguais e equivalem a
x-y=0 \quad\Longrightarrow\quad x=y.
Logo os vetores próprios são todos os múltiplos escalares de
\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}.
O espaço próprio (autoespaço) associado a \lambda=2\] tem dimensão \(1. Em termos práticos: existe exatamente uma direção linear independente de autovetores.]

Passo 6

Condição de diagonalizabilidade para matrizes n\times n: A é diagonalizável (sobre um corpo, por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}) se e somente se existe uma base de \mathbb{R}^n (ou \mathbb{C}^n) formada por autovetores de A. Equivalentemente, a soma das multiplicidades geométricas (dimensões dos autoespaços) deve ser n.
No nosso caso n=2. O autovalor \lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2 mas multiplicidade geométrica 1 (apenas uma direção de autovetores). Portanto não há duas colunas linearmente independentes formadas por autovetores; falta uma segunda direção própria. Conclusão: A NÃO é diagonalizável.

Passo 7

Comentário didático e dica prática para a prova (tom relaxado): quando aparecer uma raiz dupla no polinômio característico de uma 2\times2, verifique sempre a dimensão do autoespaço. Se for 2 (duas direções independentes), diagonaliza; se for 1, não diagonaliza. Aqui deu o segundo caso. Se quiser aprender o próximo passo (quando não diagonaliza) a ferramenta correta é a forma de Jordan: existe uma matriz P que traz A para uma forma de Jordan J com um bloco 2\times2 de Jordan \begin{pmatrix}2&1\\\ 0&2\end{pmatrix}. Para quem se interessar, pode-se construir P com uma cadeia generalizada: por exemplo tomar o autovetor v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} e buscar w tal que (A-2I)w=v. Uma escolha conveniente é w=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}, e então
P=\begin{pmatrix}v & w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix},\qquad J=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 2\end{pmatrix},
satisfez A=P J P^{-1}. Isso não é uma diagonalização (porque J não é diagonal), mas é útil para entender a estrutura da matriz quando não há diagonalização.]

Resposta

Autovalor: \lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).
Autovetores: todos os múltiplos de \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix} (autoespaço de dimensão 1).
Diagonalizável? Não (multiplicidade geométrica 1 < multiplicidade algébrica 2).]

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