Ache os autovalores e autovetores das matrizes abaixo. Em seguida, verifique se el diagonalizáveis. Caso sejam diagonalizáveis, determine as matrizes
e
tais que
Passo 1
O enunciado pede diretamente três coisas aplicadas à matriz
As perguntas são:
- Encontrar os autovalores de
. - Para cada autovalor, achar os autovetores não nulos associados.
- Verificar se
é diagonalizável; caso seja, determinar as matrizes e tais que .
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- A matriz
é com entradas , , , .]
Passo 2
O que é autovalor e autovetor (rápido e prático): um número
é autovalor de
se existe um vetor não nulo
tal que
Isto é equivalente a resolver
que tem solução não-trivial exatamente quando
Para trabalhar com determinantes de matrizes
lembramos a fórmula: para
,
. Vamos aplicar isso para obter o polinômio característico.
Passo 3
Calcular o polinômio característico
:
logo
Desenvolvendo:
então
Passo 4
Fatorando o polinômio característico:
Portanto o único autovalor é
com multiplicidade algébrica igual a
(é raiz dupla do polinômio característico).
Passo 5
Agora vamos achar os autovetores associados a
Compute
:
Escrevendo o sistema linear para
:
As duas equações são iguais e equivalem a
Logo os vetores próprios são todos os múltiplos escalares de
O espaço próprio (autoespaço) associado a
. Em termos práticos: existe exatamente uma direção linear independente de autovetores.]
Passo 6
Condição de diagonalizabilidade para matrizes
:
é diagonalizável (sobre um corpo, por exemplo
ou
) se e somente se existe uma base de
(ou
) formada por autovetores de
. Equivalentemente, a soma das multiplicidades geométricas (dimensões dos autoespaços) deve ser
.
No nosso caso
. O autovalor
tem multiplicidade algébrica
mas multiplicidade geométrica
(apenas uma direção de autovetores). Portanto não há duas colunas linearmente independentes formadas por autovetores; falta uma segunda direção própria. Conclusão:
NÃO é diagonalizável.
Passo 7
Comentário didático e dica prática para a prova (tom relaxado): quando aparecer uma raiz dupla no polinômio característico de uma
, verifique sempre a dimensão do autoespaço. Se for
(duas direções independentes), diagonaliza; se for
, não diagonaliza. Aqui deu o segundo caso. Se quiser aprender o próximo passo (quando não diagonaliza) a ferramenta correta é a forma de Jordan: existe uma matriz
que traz
para uma forma de Jordan
com um bloco
de Jordan
. Para quem se interessar, pode-se construir
com uma cadeia generalizada: por exemplo tomar o autovetor
e buscar
tal que
. Uma escolha conveniente é
, e então
satisfez
. Isso não é uma diagonalização (porque
não é diagonal), mas é útil para entender a estrutura da matriz quando não há diagonalização.]
Resposta
Autovalor:
(multiplicidade algébrica
).
Autovetores: todos os múltiplos de
(autoespaço de dimensão
).
Diagonalizável? Não (multiplicidade geométrica < multiplicidade algébrica
).]
Diagonalizável? Não (multiplicidade geométrica