Verifique se o conjunto S dado é subespaço vetorial dos conjuntos apresentados com relação as operações de adição e multiplicação usuais:
S=\left\{\left[\begin{array}{ll}a & 1 \\\ a & b\end{array}\right] ; a, b \in \mathbb{R}\right\}, M_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado pede que se verifique se o conjunto
S=\left\{\begin{pmatrix}a & 1 \\[4pt] a & b\end{pmatrix} \;;\; a,b\in\mathbb{R}\right\}
é um subespaço vetorial do espaço M_{2\times2} (com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação por escalar).
Informações fornecidas:
  • Um elemento genérico de S tem a forma \begin{pmatrix}a & 1 \\\ a & b\end{pmatrix} com a,b\in\mathbb{R}.
  • O espaço ambiente é M_{2\times2}, o conjunto de todas as matrizes 2\times2 com entradas reais.
    A pergunta é única: verificar (sim ou não) se S é subespaço vetorial de M_{2\times2}.]

Passo 2

Critérios que um subconjunto deve satisfazer para ser subespaço (explicando bem):
  • (C1) Contém o vetor zero do espaço ambiente. Aqui o vetor zero é a matriz nula
\mathbf{0}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
É obrigatório porque, em qualquer subespaço, somando qualquer vetor com seu inverso e multiplicando por escalar 0 obtém-se o zero; por isso o zero deve estar lá.
  • (C2) Fechamento por adição: se X e Y pertencem ao conjunto, então X+Y também deve pertencer.
  • (C3) Fechamento por multiplicação escalar: se X pertence ao conjunto e t\in\mathbb{R}, então tX também deve pertencer.
Vou testar essas três condições para S. Se qualquer uma falhar, S não é subespaço.

Passo 3

Teste da condição (C1): verificar se a matriz nula \mathbf{0} pertence a S.
Um elemento genérico de S tem segunda entrada superior igual a 1. A matriz nula tem segunda entrada superior igual a 0. Logo, para que \mathbf{0} estivesse em S seria preciso 1=0, o que é falso. Em termos diretos:
\mathbf{0}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\notin S,
porque toda matriz em S tem forma \begin{pmatrix}a & 1 \\\ a & b\end{pmatrix} e aí a entrada (1,2) vale 1, não 0.
Portanto a condição (C1) falha: S não contém o elemento zero de M_{2\times2}.

Passo 4

Para aprendizado: um modo rápido e prático de ver falhas de fechamento é usar multiplicação por 0. Tome uma matriz qualquer de S, por exemplo escolha a=0,b=0. Então
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}\in S.
Multiplicando por 0 (escalares reais):
0\cdot A = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}=\mathbf{0}.
Como já vimos \mathbf{0}\notin S, isto mostra explicitamente que S não é fechado por multiplicação escalar: existe t=0 e A\in S tais que tA\notin S. Em forma algébrica geral, para t\in\mathbb{R},
t\begin{pmatrix}a & 1 \\\ a & b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ta & t \\\ ta & tb\end{pmatrix},
e a entrada (1,2) passa a ser t; só é igual a 1 quando t=1. Portanto em geral tA\notin S (por exemplo t=0).

Passo 5

Verificação da condição (C2) por adição (mais um contraexemplo simples): pegue duas matrizes quaisquer de S,
A=\begin{pmatrix}a & 1 \\\ a & b\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}c & 1 \\\ c & d\end{pmatrix},
com a,b,c,d\in\mathbb{R}. A soma é
A+C=\begin{pmatrix}a+c & 1+1 \\\ a+c & b+d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+c & 2 \\\ a+c & b+d\end{pmatrix}.
A entrada (1,2) de A+C vale 2, e não 1. Logo A+C\notin S (a menos de um caso muito especial onde por acaso 1+1=1, o que é impossível em \mathbb{R}). Um caso concreto já mostrado é A=A: A+A tem (1,2)=2, portanto não pertence a S. Assim S não é fechado por adição.

Passo 6

Síntese das provas (orientação para prova em prova escrita): bastou encontrar violações diretas das condições necessárias para ser subespaço:
  • A matriz zero não pertence a S (violação de C1).
  • Multiplicação por escalar 0 de um elemento de S produz \mathbf{0}\notin S (violação de C3).
  • Soma de dois elementos de S tem a entrada (1,2) igual a 2, então não pertence a S (violação de C2).
Essas violações são conclusivas: qualquer uma basta para concluir que o conjunto não é subespaço. (Dica para prova curta na prova: basta escrever que a matriz nula não está em S, ou dar o contraexemplo 0\cdot\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix}=\mathbf{0}\notin S.)

Resposta

Não, S não é subespaço vetorial de M_{2\times2}.

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