Ache uma base e a dimensão do subespaço W de R^3, onde:
(b) W=(x, y, z) in R^3 mid y=x=z;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base e a dimensão do subespaço WsubsetR^3 definido pela condição y=x=z. Vamos usar o conceito de subespaço dado por equações lineares, parametrizar seus vetores e, a partir daí, extrair uma base.

Passo 2

A condição y=x=z implica que todo vetor (x,y,z)in W satisfaz x=y=z. Seja tinR esse valor comum. Então todo elemento de W pode ser escrito como
(x,y,z)=(t,t,t);=;t,(1,1,1)

Passo 3

Como cada vetor de W é um múltiplo escalar do vetor (1,1,1) e (1,1,1) não é o vetor zero, concluímos que
(1,1,1) é um conjunto gerador e linearmente independente em W. Logo, é uma base de W.

Passo 4

A dimensão de W é o número de vetores em qualquer base de W. Como nossa base tem um único vetor, temos
dim(W)=1

Resposta

Uma base de W é (1,1,1)
A dimensão de W é 1.

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