Responda se os subconjuntos abaixo sijo subespaços de M(2,2). Em caso afirmativo exiba geradores
V=[lla & b c & d] com a, b, c, d in R e b=c

Passo 1

O enunciado pede para decidir se
V=gla & b c & d;m|;a,b,c,dinR e b=cgr
é um subespaço de M(2,2). Para isso vamos usar os critérios de subespaço: verificar se o zero está em V, se V é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Se for subespaço, exibiremos um conjunto de geradores.

Passo 2

Mostramos que satisfaz as três propriedades:
  1. Zero em :
    O zero de é . Aqui e , logo , então .
  2. Fechamento sob soma:
    Se e estão em , então
    e como , temos .
  3. Fechamento sob escalar:
    Para e ,
    e claramente , logo .
Portanto, é subespaço de .

Passo 3

Agora parametrizamos um elemento qualquer de V. Como a condição é b=c, escrevemos
a & b b & d = a1&00&0 + b0&11&0 + d0&00&1,
com a,b,dinR.

Passo 4

Da parametrização vimos que
V = spanl E11=1&00&0, ; E12+E21=0&11&0, ; E22=0&00&1 r
Esses três vetores são linearmente independentes e geram V.

Resposta

Sim, V é subespaço de M(2,2). Um conjunto de geradores (base) é
1&00&0, 0&11&0, 0&00&1

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