Responda se os subconjuntos abaixo sijo subespaços de . Em caso afirmativo exiba geradores com e
Passo 1
O enunciado pede para decidir se
é um subespaço de M(2,2). Para isso vamos usar os critérios de subespaço: verificar se o zero está em V, se V é fechado sob soma e sob multiplicação escalar. Se for subespaço, exibiremos um conjunto de geradores.
Passo 2
Mostramos que satisfaz as três propriedades:
Zero em :
O zero de é . Aqui e , logo , então .
Fechamento sob soma:
Se e estão em , então
e como , temos .
Fechamento sob escalar:
Para e ,
e claramente , logo .
Portanto, é subespaço de .
Passo 3
Agora parametrizamos um elemento qualquer de V. Como a condição é b=c, escrevemos
a & b b & d = a1&00&0 + b0&11&0 + d0&00&1,
com a,b,dinR.
Passo 4
Da parametrização vimos que
V = spanl E11=1&00&0, ; E12+E21=0&11&0, ; E22=0&00&1 r
Esses três vetores são linearmente independentes e geram V.
Resposta
Sim, V é subespaço de M(2,2). Um conjunto de geradores (base) é