Ache \boldsymbol{m} para que o sistema \left\{\begin{array}{l}2 x-y+3 z=0 \\\ x+4 y-5 z=0 \\\\ 3 x+m y+2 z=0\end{array}\right.
tenha soluções próprias
Resposta: m=\frac{3}{13}
Passo 1
O enunciado dá um sistema homogêneo
\begin{cases} 2x - y + 3z = 0,\\\ x + 4y - 5z = 0,\\\\ 3x + m y + 2z = 0 \end{cases}
e pede os valores de m para que existam soluções próprias (i.e., não triviais). Em teoria de sistemas lineares, isso ocorre exatamente quando o determinante da matriz de coeficientes é zero.
Passo 2
Montamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 3\\\\ 1 & 4 & -5\\\\ 3 & m & 2 \end{pmatrix}.
Passo 3
Calculamos o determinante de A por expansão em cofatores na primeira linha: