Ache cada limite, se existe:
f(x)=\sqrt{5-2 x}-x^{2} \quad \mathrm{a}=\frac{5}{2}
a) \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)
b) \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)
c) \lim _{x \rightarrow a} f(x)

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\sqrt{5-2x}-x^{2} e o ponto a=\frac{5}{2}.
Pede-se:
a) \lim_{x\to a^{-}} f(x) (limite pela esquerda),
b) \lim_{x\to a^{+}} f(x) (limite pela direita),
c) \lim_{x\to a} f(x) (limite completo).
Informações relevantes dadas pelo enunciado: a expressão contém uma raiz quadrada \sqrt{5-2x} que impõe uma restrição no domínio da função, e há também o termo polinomial -x^{2}.

Passo 2

Determinar o domínio da função — isso é crucial para entender de que lados podemos aproximar a.
A raiz quadrada \sqrt{5-2x} só está definida nos reais quando o radicando é não negativo. Portanto exigimos
5-2x \ge 0.
Resolvendo essa desigualdade:
5-2x \ge 0 \iff -2x \ge -5 \iff x \le \frac{5}{2}.
Logo o domínio de f (em \mathbb{R}) é \{x\in\mathbb{R}\mid x\le \tfrac{5}{2}\}. Isso significa que a função está definida para todos os x à esquerda de a=\tfrac{5}{2}, inclusive em x=a, mas não está definida para x>a.

Passo 3

Explicar o significado dos limites laterais no contexto do domínio:
  • A definição de \lim_{x\to a^{-}} f(x) usa valores de x com x<a e próximos de a. Como o domínio inclui tais pontos (veja Passo 2), faz sentido calcular esse limite.
  • A definição de \lim_{x\to a^{+}} f(x) usa valores de x com x>a e próximos de a. Mas segundo o domínio, não existem pontos reais com x>a onde f esteja definida (nem arbitrariamente próximos de a pela direita). Portanto não há sequência de pontos do domínio que se aproxime de a vindo da direita; por isso, em \mathbb{R}, o limite pela direita não existe (não está definido).
    Observação didática: para que \lim_{x\to a^{+}} f(x) exista em \mathbb{R} precisamos que existam valores de f(x) com x>a arbitrariamente próximos de a; aqui isso falha.

Passo 4

Calcular \lim_{x\to a^{-}} f(x).
Como estamos aproximando a=\tfrac{5}{2} por valores menores (pela esquerda), todos esses x estão no domínio, e tanto a função \sqrt{\,\cdot\,} quanto o polinômio x^{2} são contínuos em seus domínios. Portanto podemos calcular o limite substituindo x por a nos termos contínuos (limite de soma/diferença de funções contínuas é soma/diferença dos limites). Primeiro avalio o radicando em a:
5-2\cdot\frac{5}{2}=5-5=0,
portanto
\sqrt{5-2x}\xrightarrow[x\to\frac{5}{2}^{-}]{} \sqrt{0}=0.
O termo polinomial tende a
x^{2}\xrightarrow[x\to\frac{5}{2}^{-}]{} \left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}.
Subtraindo:
\lim_{x\to\frac{5}{2}^{-}} f(x)=0-\frac{25}{4}=-\frac{25}{4}.
Interpretação numérica: -\tfrac{25}{4}=-6,25.

Passo 5

Tratar \lim_{x\to a^{+}} f(x).
Pelo que vimos no Passo 2 e Passo 3, para x>a=\tfrac{5}{2} temos 5-2x<0, logo \sqrt{5-2x} não é real e f(x) não está definida em nenhum x>a. A definição usual do limite lateral pela direita exige existência de valores de f(x) para x>a arbitrariamente próximos de a. Como não há tais valores, o limite pela direita não existe (é impossível calcular um valor real). Portanto
\lim_{x\to\frac{5}{2}^{+}} f(x)\\ \text{não existe (não está definido em }\mathbb{R}\text{)}.ããá

Passo 6

Concluir sobre o limite total \lim_{x\to a} f(x).
Para que \lim_{x\to a} f(x) exista (em \mathbb{R}) precisamos que ambos os limites laterais existam e sejam iguais. Aqui o limite pela esquerda existe e vale -\tfrac{25}{4}, mas o limite pela direita não existe. Logo o limite total em a não existe.

Resposta

a) -\dfrac{25}{4}
b) não existe
c) não existe

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