Questão 1:(2,5 pontos)
Estude a convergência, convergência absoluta ou divergência de \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} \operatorname{sen}(4 n)}{4^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}\operatorname{sen}(4n)}{4^{n}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{3^{n}\operatorname{sen}(4n)}{4^{n}}.
  • Podemos reescrever a_n como
a_n=\left(\frac{3}{4}\right)^{\!n}\operatorname{sen}(4n).
  • Sabemos que a função seno tem valores no intervalo [-1,1], ou seja, |\operatorname{sen}(4n)|\le 1 para todo n.

Passo 2

O que significa “convergência absoluta” e por que é útil aqui.
Definição: uma série \sum a_n converge absolutamente se a série de termos não-negativos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (isto é, convergência absoluta implica convergência).
Ferramenta que vamos usar: teste de comparação. Ele diz que, para termos não-negativos, se 0\le b_n\le c_n para todo n e \sum c_n converge, então \sum b_n também converge. É um jeito muito prático quando temos uma série de referência conhecida, como a série geométrica.
Lembrete sobre a série geométrica: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r},
logo converge. Se |r|\ge 1 a série geométrica diverge.

Passo 3

Aplicação do teste de comparação usando a desigualdade |\operatorname{sen}(4n)|\le 1.
Calculemos o valor absoluto do termo geral:
|a_n|=\left|\left(\frac{3}{4}\right)^{\!n}\operatorname{sen}(4n)\right| =\left(\frac{3}{4}\right)^{\!n}\left|\operatorname{sen}(4n)\right|.
Pelo fato de \left|\operatorname{sen}(4n)\right|\le 1, temos a desigualdade
|a_n|\le \left(\frac{3}{4}\right)^{\!n}\quad\text{para todo }n.

Passo 4

Comparação com a série geométrica convergente.
Como |a_n|\le (3/4)^n e a série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} (3/4)^n converge (porque |3/4|<1), pelo teste de comparação segue que
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|
converge. Em particular,
\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{3}{4}\right)^{\!n} = \frac{3/4}{1-3/4} = 3,
então \sum |a_n| é majorada por 3 (isto é só para ter uma ideia numérica do majorante).

Passo 5

Conclusão a partir da convergência absoluta.
Como \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge, a série original converge absolutamente. Portanto a série também converge (convergência absoluta implica convergência).
Observação rápida (método alternativo): poderíamos também aplicar o teste da razão ou da raiz ao termo |a_n|. Por exemplo, o teste da razão dá
\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{(3/4)^{n+1}|\sin(4(n+1))|}{(3/4)^{n}|\sin(4n)|}=\frac{3}{4}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{|\sin(4(n+1))|}{|\sin(4n)|},
e como os senos são positivos acotados e a razão das oscilações não prejudica o limite do fator (3/4), obtém-se essencialmente razão 3/4<1, confirmando a convergência absoluta. Mas a comparação com a geométrica é mais direta e limpa aqui.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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