Sabemos que a função seno tem valores no intervalo [-1,1], ou seja, |\operatorname{sen}(4n)|\le 1 para todo n.
Passo 2
O que significa “convergência absoluta” e por que é útil aqui.
Definição: uma série \sum a_n converge absolutamente se a série de termos não-negativos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (isto é, convergência absoluta implica convergência).
Ferramenta que vamos usar: teste de comparação. Ele diz que, para termos não-negativos, se 0\le b_n\le c_n para todo n e \sum c_n converge, então \sum b_n também converge. É um jeito muito prático quando temos uma série de referência conhecida, como a série geométrica.
Lembrete sobre a série geométrica: para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \frac{r}{1-r},
logo converge. Se |r|\ge 1 a série geométrica diverge.
Passo 3
Aplicação do teste de comparação usando a desigualdade |\operatorname{sen}(4n)|\le 1.
então \sum |a_n| é majorada por 3 (isto é só para ter uma ideia numérica do majorante).
Passo 5
Conclusão a partir da convergência absoluta.
Como \sum_{n=1}^{\infty} |a_n| converge, a série original converge absolutamente. Portanto a série também converge (convergência absoluta implica convergência).
Observação rápida (método alternativo): poderíamos também aplicar o teste da razão ou da raiz ao termo |a_n|. Por exemplo, o teste da razão dá
e como os senos são positivos acotados e a razão das oscilações não prejudica o limite do fator (3/4), obtém-se essencialmente razão 3/4<1, confirmando a convergência absoluta. Mas a comparação com a geométrica é mais direta e limpa aqui.