Precisamos encontrar o raio de convergência R (ou seja, o valor tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R).
Passo 2
Primeiro passo prático: simplificar o coeficiente factorial. Note que, para todo inteiro k\ge1,
(2k+1)! = (2k+1)\cdot(2k)!.
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\frac{(2k+1)!}{(2k)!} = 2k+1.
Portanto a série fica mais simples:
\sum_{k=1}^{\infty} (2k+1)\,x^{2k}.
Explicação rápida: sempre que você vê (n+1)!/n! dá simplesmente n+1, porque o fatorial cancela — é um truquezinho muito útil em provas para simplificar termos.
Passo 3
É conveniente ver essa série como uma série em potências de x^2. Defina
y := x^2.
Então a série passa a ser
\sum_{k=1}^{\infty} (2k+1)\,y^{k}.
Estratégia: vamos determinar o raio de convergência em termos de y (digamos R_y) e depois voltar para x usando y=x^2. Lembre-se: o raio em x será tal que |x|<R equivalente a |y|<R_y com R_y = R^2.
Passo 4
Escolha do método: o teste da razão (ratio test) é apropriado porque temos uma expressão simples para os coeficientes (2k+1) e esse teste dá um limite direto que envolve uma razão entre termos consecutivos. Vou explicar o teste da razão de forma didática.
Teste da razão (enunciado e interpretação):
Para uma série \sum b_k de termos não nulos, considereL := \lim_{k\to\infty} \left| \frac{b_{k+1}}{b_k} \right|se esse limite existe.
Se L<1, a série converge absolutamente.
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso temos b_k = (2k+1)\,y^k. Vamos aplicar o teste e calcular L.
Passo 5
Calcule a razão entre termos consecutivos b_{k+1}/b_k:
Pelo teste da razão, a série em y converge se L<1, isto é, se |y|<1. Portanto o raio de convergência em y é
R_y = 1.
Passo 6
Volte para a variável x. Lembrando que y=x^2, a condição |y|<1 equivale a
|x|^2 < 1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Assim o raio de convergência em x é
R = 1.
Comentário didático final: outra maneira seria observar que os coeficientes em y são da ordem de k (pois 2k+1\sim 2k), e séries do tipo \sum k y^k têm raio 1. O que fizemos com o teste da razão é uma forma rigorosa e direta disso.