Ache cada limite, se existir.
\lim _{x \rightarrow-3} \sqrt[3]{\frac{x+3}{x^{3}+27}}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Dado o limite \displaystyle \lim_{x\to-3} \sqrt[3]{\frac{x+3}{x^{3}+27}}.
  • Pergunta: calcular esse limite, se existir.
  • Informações imediatas que podemos verificar substituindo x=-3:
    • O numerador vale (-3)+3=0.
    • O denominador vale (-3)^{3}+27=-27+27=0.
  • Conclusão: a expressão tem forma 0/0 na substituição direta, então precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Fatoração útil: soma de cubos.
  • Lembrete prático: para quaisquer a e b vale a identidade
a^{3}+b^{3}=(a+b)\bigl(a^{2}-ab+b^{2}\bigr).
  • Aqui podemos aplicar com a=x e b=3. Então
x^{3}+27 = x^{3}+3^{3}=(x+3)\bigl(x^{2}-3x+9\bigr).

Passo 3

Simplificar a fração cancelando o fator comum (quando x\neq -3).
  • Para x\neq -3 temos
\frac{x+3}{x^{3}+27}=\frac{x+3}{(x+3)\bigl(x^{2}-3x+9\bigr)}=\frac{1}{x^{2}-3x+9}.
  • Justificativa do cancelamento: podemos dividir por x+3 sempre que x+3\neq0. Para o cálculo do limite x\to-3 estamos interessados em valores de x arbitrariamente próximos de -3 mas diferentes de -3, portanto essa simplificação é válida para estudar o limite.

Passo 4

Expressão simplificada e uso da continuidade da raiz cúbica.
  • Para x\neq -3 a função dentro do limite é
\sqrt[3]{\frac{x+3}{x^{3}+27}}=\sqrt[3]{\frac{1}{x^{2}-3x+9}}.
  • A função t\mapsto \sqrt[3]{t} (raiz cúbica) é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Isso significa que, se \displaystyle \lim_{x\to-3} g(x)=L existe, então
\lim_{x\to-3} \sqrt[3]{g(x)}=\sqrt[3]{L}.
  • Portanto podemos primeiro calcular o limite interno \displaystyle \lim_{x\to-3}\frac{1}{x^{2}-3x+9} e depois aplicar a raiz cúbica.

Passo 5

Calcular o limite interno usando continuidade de polinômios e da função inversa (quando denominador não zera no ponto limite).
  • A função x\mapsto x^{2}-3x+9 é um polinômio, logo contínua. Avaliando em x=-3:
(-3)^{2}-3(-3)+9=9+9+9=27.
  • Assim
\lim_{x\to-3}\frac{1}{x^{2}-3x+9}=\frac{1}{\lim_{x\to-3}\bigl(x^{2}-3x+9\bigr)}=\frac{1}{27}.
(Aqui usa-se que a função y\mapsto 1/y é contínua no ponto y=27\neq0.)

Passo 6

Aplicar a continuidade da raiz cúbica ao resultado obtido.
  • Como \displaystyle \lim_{x\to-3}\frac{1}{x^{2}-3x+9}=\frac{1}{27} e a raiz cúbica é contínua, segue que
\lim_{x\to-3} \sqrt[3]{\frac{x+3}{x^{3}+27}}=\sqrt[3]{\frac{1}{27}}.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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