Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Dado o limite
. - Pergunta: calcular esse limite, se existir.
- Informações imediatas que podemos verificar substituindo
: - O numerador vale
. - O denominador vale
.
- O numerador vale
- Conclusão: a expressão tem forma
na substituição direta, então precisamos manipular a expressão para avaliar o limite.
Passo 2
Fatoração útil: soma de cubos.
- Lembrete prático: para quaisquer
e vale a identidade
- Aqui podemos aplicar com
e . Então
Passo 3
Simplificar a fração cancelando o fator comum (quando
).
- Para
temos
- Justificativa do cancelamento: podemos dividir por
sempre que . Para o cálculo do limite estamos interessados em valores de arbitrariamente próximos de mas diferentes de , portanto essa simplificação é válida para estudar o limite.
Passo 4
Expressão simplificada e uso da continuidade da raiz cúbica.
- Para
a função dentro do limite é
- A função
(raiz cúbica) é contínua para todo . Isso significa que, se existe, então
- Portanto podemos primeiro calcular o limite interno
e depois aplicar a raiz cúbica.
Passo 5
Calcular o limite interno usando continuidade de polinômios e da função inversa (quando denominador não zera no ponto limite).
- A função
é um polinômio, logo contínua. Avaliando em :
- Assim
(Aqui usa-se que a função
é contínua no ponto
.)
Passo 6
Aplicar a continuidade da raiz cúbica ao resultado obtido.
- Como
e a raiz cúbica é contínua, segue que