Ache cada limite, se existir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite (assumindo que há um pequeno erro de digitação na variável): vou interpretar o limite como
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A expressão dentro do limite é
. - O limite é quando
tende a .
O que é pedido: - Calcular o valor numérico do limite, se ele existir.
Passo 2
Entendendo o que o limite representa (ideia): a expressão
é exatamente o quociente incremental da função
no ponto
. Pelo conceito de derivada:
Se
for diferenciável em
, esse limite existe e é igual à derivada
. Vou calcular o limite diretamente por álgebra (sem assumir imediatamente a regra da potência), para mostrar passo a passo como fazer na prova.
Passo 3
Começo simplificando o numerador escrevendo as frações com denominador comum:
Então a expressão toda fica
Passo 4
Agora exponencio e simplifico
:
Substituindo na expressão do numerador:
Fatorando
:
Substituo isso em
e cancelo o fator
:
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. Como a expressão ficou uma função contínua em
ao redor de
, posso apenas substituir
:
Simplificando
dividindo numerador e denominador por
:
Passo 6
Verificação rápida (método alternativo e mais curto que vale saber na prova): pela regra da potência, se
então
. Avaliando em
dá
o mesmo resultado obtido pela simplificação algébrica. Então o limite existe e é
.