Ache cada limite, se existir.
\lim _{k \rightarrow 0} \frac{(2+h)^{-3}-2^{-3}}{h}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite (assumindo que há um pequeno erro de digitação na variável): vou interpretar o limite como \lim_{h\to 0} \dfrac{(2+h)^{-3}-2^{-3}}{h}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro do limite é \dfrac{(2+h)^{-3}-2^{-3}}{h}.
  • O limite é quando h tende a 0.
    O que é pedido:
  • Calcular o valor numérico do limite, se ele existir.

Passo 2

Entendendo o que o limite representa (ideia): a expressão
\frac{(2+h)^{-3}-2^{-3}}{h}
é exatamente o quociente incremental da função f(x)=x^{-3} no ponto x=2. Pelo conceito de derivada:
f'(2)=\lim_{h\to 0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Se f for diferenciável em 2, esse limite existe e é igual à derivada f'(2). Vou calcular o limite diretamente por álgebra (sem assumir imediatamente a regra da potência), para mostrar passo a passo como fazer na prova.

Passo 3

Começo simplificando o numerador escrevendo as frações com denominador comum:
(2+h)^{-3}-2^{-3}=\frac{1}{(2+h)^3}-\frac{1}{8}=\frac{8-(2+h)^3}{8(2+h)^3}.
Então a expressão toda fica
\frac{(2+h)^{-3}-2^{-3}}{h}=\frac{8-(2+h)^3}{8h(2+h)^3}.

Passo 4

Agora exponencio e simplifico (2+h)^3:
(2+h)^3=8+12h+6h^2+h^3.
Substituindo na expressão do numerador:
8-(2+h)^3=8-\bigl(8+12h+6h^2+h^3\bigr)=-12h-6h^2-h^3.
Fatorando -h:
8-(2+h)^3=-h\bigl(12+6h+h^2\bigr).
Substituo isso em \dfrac{8-(2+h)^3}{8h(2+h)^3} e cancelo o fator h:
\frac{8-(2+h)^3}{8h(2+h)^3}=\frac{-h(12+6h+h^2)}{8h(2+h)^3}=-\frac{12+6h+h^2}{8(2+h)^3}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando h\to 0. Como a expressão ficou uma função contínua em h ao redor de 0, posso apenas substituir h=0:
\lim_{h\to 0}\left(-\frac{12+6h+h^2}{8(2+h)^3}\right)=-\frac{12+6\cdot 0+0^2}{8(2+0)^3}=-\frac{12}{8\cdot 8}=-\frac{12}{64}.
Simplificando -\dfrac{12}{64} dividindo numerador e denominador por 4:
-\frac{12}{64}=-\frac{3}{16}.

Passo 6

Verificação rápida (método alternativo e mais curto que vale saber na prova): pela regra da potência, se f(x)=x^{-3} então f'(x)=-3x^{-4}. Avaliando em x=2
f'(2)=-3\cdot 2^{-4}=-\frac{3}{16},
o mesmo resultado obtido pela simplificação algébrica. Então o limite existe e é -\dfrac{3}{16}.

Resposta

-\dfrac{3}{16}

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