Ache, caso seja possivel, os pontos de máximo e/ou de minimo de f(x, y, z)=x+y+z sujeita à condição x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede: achar, se possível, os pontos de máximo e de mínimo da função f(x,y,z)=x+y+z sujeitos à condição x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
  • Informações dadas:
    • A função objetivo é f(x,y,z)=x+y+z.
    • A restrição é a esfera de raio 3 centrada na origem: x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
  • Resultado esperado: localizar pontos (x,y,z) que pertencem à esfera e que tornam f máxima ou mínima; também é útil informar os valores de f nesses pontos.

Passo 2

Intuição e ideia do método (explicação didática do que vamos usar, sem pular etapas).
  • Quando temos uma função a maximizar/minimizar com uma restrição dada por uma equação, uma ferramenta direta é igualar os gradientes (método dos multiplicadores de Lagrange). A ideia intuitiva: no ponto extremo restrito, a direção em que a restrição permite mover-se está ortogonal ao gradiente da restrição, e o gradiente da função objetivo deve ser paralelo ao gradiente da restrição.
  • Formalmente, se queremos extremizar f(x,y,z) sujeita a g(x,y,z)=0, buscamos \nabla f = \lambda \nabla g para algum escalar \lambda (o multiplicador de Lagrange), junto com g(x,y,z)=0.
  • Aqui:
    • A função que queremos extremizar é f(x,y,z)=x+y+z. O gradiente é o vetor das derivadas parciais: \nabla f=(\partial f/\partial x,\\ \partial f/\partial y,\\ \partial f/\partial z).Para f isso dá \nabla f=(1,1,1), porque \partial f/\partial x=1, etc.
    • A restrição pode ser escrita como g(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}-9=0. O gradiente é \nabla g=(2x,2y,2z).
  • Vamos agora aplicar \nabla f=\lambda \nabla g e resolver o sistema com a restrição.

Passo 3

Escrever as equações de Lagrange explicitamente.
  • A condição \nabla f=\lambda\nabla g dá: (1,1,1)=\lambda(2x,2y,2z).Isso gera as três equações escalares: 1=2\lambda x,\qquad 1=2\lambda y,\qquad 1=2\lambda z.
  • Além disso temos a restrição: x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.

Passo 4

Resolver as equações de Lagrange passo a passo.
  • Das três equações 1=2\lambda x, 1=2\lambda y, 1=2\lambda z segue que 2\lambda x=2\lambda y=2\lambda z=1.Se 2\lambda\neq 0, podemos dividir e obter x=y=z.(Observação: se 2\lambda=0 então as equações dariam 1=0, impossível; logo 2\lambda\neq0.)
  • Logo colocamos x=y=z na restrição: x^{2}+x^{2}+x^{2}=9 \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}=9.Então x^{2}=3 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{3}.
  • Como y=x e z=x, os candidatos são os dois pontos: (x,y,z)=(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}) \quad\text{e}\quad (x,y,z)=(-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3}).

Passo 5

Calcular os valores de f nesses pontos e identificar máximo e mínimo.
  • Avaliando f no ponto (\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}): f(\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3})=\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}=3\sqrt{3}.
  • Avaliando f no ponto (-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3}): f(-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3})=-\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{3}=-3\sqrt{3}.
  • Como 3\sqrt{3}>-3\sqrt{3}, o valor 3\sqrt{3} é o máximo e -3\sqrt{3} é o mínimo sobre a esfera.

Passo 6

Breve verificação geométrica (intuição extra, útil na prova).
  • A função f(x,y,z)=x+y+z pode ser vista como produto interno \mathbf{v}\cdot\mathbf{r} entre \mathbf{v}=(1,1,1) e \mathbf{r}=(x,y,z).
  • Sobre a esfera de raio 3, o produto interno \mathbf{v}\cdot\mathbf{r}=\|\mathbf{v}\|\|\mathbf{r}\|\cos\theta é máximo quando \mathbf{r} está alinhado com \mathbf{v} ( \theta=0) e mínimo quando está anti-alinhado ( \theta=\pi). Isso dá exatamente os pontos encontrados e os mesmos valores \pm \|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{r}\| = \pm \sqrt{3}\cdot 3 = \pm 3\sqrt{3}.
  • Essa verificação confirma que não perdemos nenhum caso.

Resposta

Ponto de máximo: (\sqrt{3},\sqrt{3},\sqrt{3}) com f=3\sqrt{3}.\nPonto de mínimo: (-\sqrt{3},-\sqrt{3},-\sqrt{3}) com f=-3\sqrt{3}.

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