Ache, caso seja possivel, os pontos de máximo e/ou de minimo de
sujeita à condição
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede: achar, se possível, os pontos de máximo e de mínimo da função
sujeitos à condição . - Informações dadas:
- A função objetivo é
. - A restrição é a esfera de raio
centrada na origem: .
- A função objetivo é
- Resultado esperado: localizar pontos
que pertencem à esfera e que tornam máxima ou mínima; também é útil informar os valores de nesses pontos.
Passo 2
Intuição e ideia do método (explicação didática do que vamos usar, sem pular etapas).
- Quando temos uma função a maximizar/minimizar com uma restrição dada por uma equação, uma ferramenta direta é igualar os gradientes (método dos multiplicadores de Lagrange). A ideia intuitiva: no ponto extremo restrito, a direção em que a restrição permite mover-se está ortogonal ao gradiente da restrição, e o gradiente da função objetivo deve ser paralelo ao gradiente da restrição.
- Formalmente, se queremos extremizar
sujeita a , buscamos para algum escalar (o multiplicador de Lagrange), junto com . - Aqui:
- A função que queremos extremizar é
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais: Para isso dá , porque , etc. - A restrição pode ser escrita como
. O gradiente é
- A função que queremos extremizar é
- Vamos agora aplicar
e resolver o sistema com a restrição.
Passo 3
Escrever as equações de Lagrange explicitamente.
- A condição
dá: Isso gera as três equações escalares: - Além disso temos a restrição:
Passo 4
Resolver as equações de Lagrange passo a passo.
- Das três equações
, , segue que Se , podemos dividir e obter (Observação: se então as equações dariam , impossível; logo .) - Logo colocamos
na restrição: Então - Como
e , os candidatos são os dois pontos:
Passo 5
Calcular os valores de
nesses pontos e identificar máximo e mínimo.
- Avaliando
no ponto : - Avaliando
no ponto : - Como
, o valor é o máximo e é o mínimo sobre a esfera.
Passo 6
Breve verificação geométrica (intuição extra, útil na prova).
- A função
pode ser vista como produto interno entre e . - Sobre a esfera de raio
, o produto interno é máximo quando está alinhado com ( ) e mínimo quando está anti-alinhado ( ). Isso dá exatamente os pontos encontrados e os mesmos valores . - Essa verificação confirma que não perdemos nenhum caso.
Resposta
Ponto de máximo:
com
.\nPonto de mínimo:
com
.