Determinar os pontos extremos de z=5-x^{2}-y^{2} sujeito a x+y=4.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos extremos de z=5-x^{2}-y^{2} sujeitos à restrição linear x+y=4.
Informações dadas:
  • A função de duas variáveis é z(x,y)=5-x^{2}-y^{2}.
  • A restrição é a reta \,x+y=4.
  • A tarefa: encontrar pontos (x,y) sobre essa reta onde z atinge máximos ou mínimos (se existirem).

Passo 2

Escolha do método e porquê: como a restrição é linear simples, o método mais direto e elementar é usar a substituição \,y=4-x para reduzir o problema a uma função de uma variável. Isso evita introduzir conceitos extras; é rápido e robusto quando a restrição expressa uma variável em função da outra.
Explicação do conceito usado: ao substituir y na expressão de z, a otimização fica sendo apenas achar extremos de uma função quadrática de uma variável. Para funções de uma variável, usamos derivada para localizar extremos: pontos críticos onde a derivada é zero, e depois analisamos o sinal da segunda derivada para classificar máximo ou mínimo.

Passo 3

Substituição da restrição na função:
y=4-x.
Substituindo em z:
z(x)=5-x^{2}-(4-x)^{2}.
Agora vamos expandir (4-x)^{2} passo a passo:
(4-x)^{2}=16-8x+x^{2}.
Portanto
z(x)=5-x^{2}-(16-8x+x^{2}).
Distribuindo o menos:
z(x)=5-x^{2}-16+8x-x^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
z(x)=-2x^{2}+8x-11.

Passo 4

Encontrar pontos críticos: para otimizar z(x) derivamos em relação a x e igualamos a zero. Lembrete didático: a derivada z'(x) dá a taxa de variação instantânea; onde z'(x)=0 há candidatos a extremos.
Calcule a derivada:
z'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2}+8x-11\bigr)=-4x+8.
Igualando a zero para achar pontos críticos:
-4x+8=0 \quad\Rightarrow\quad -4x=-8 \quad\Rightarrow\quad x=2.
Classificação do ponto: usamos a segunda derivada. Lembrete: se z''(x)<0 no ponto crítico, é máximo local (concavidade para baixo); se z''(x)>0, mínimo local.
z''(x)=\frac{d}{dx}(-4x+8)=-4.
Como z''(2)=-4<0, o ponto x=2 é um máximo (local). Como a função é uma parábola com coeficiente de x^{2} negativo, esse máximo é global em toda a reta (a parábola abre para baixo).

Passo 5

Encontrar y e o valor de z no ponto:
y=4-x=4-2=2.
Calcular z(2):
z(2)=-2(2)^{2}+8(2)-11=-2\cdot4+16-11=-8+16-11=-3.
Assim, o ponto (2,2) z=-3 e é o máximo restrito à reta.

Passo 6

Existência de mínimo: analisar comportamento para mostrar se existe mínimo restrito. Observação didática: a restrição y=4-x permite x arbitrariamente grande em módulo; substituindo vê-se que z(x)=-2x^{2}+8x-11 e, como o termo -2x^{2} domina quando |x|\to\infty, tem-se z(x)\to -\infty. Portanto não existe mínimo (nem mínimo global finito) sob a restrição: z é não limitado inferiormente ao longo da reta.

Passo 7

Breve verificação alternativa (opcional, rápida): usando multiplicadores de Lagrange seria resolvido pelo sistema
\nabla(5-x^{2}-y^{2})=\lambda\nabla(x+y-4)
o que dá -2x=\lambda,\\\ -2y=\lambda,\\ x+y=4. Das duas primeiras equações vem -2x=-2y\Rightarrow x=y; com x+y=4 resulta x=y=2, confirmando o mesmo máximo (2,2). A verificação com Lagrange confirma o resultado da substituição.

Resposta

Máximo: z_{\max}=-3 em (2,2).
Mínimo: não existe ( z\to -\infty ao longo da reta x+y=4 ).

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