Determinar os pontos extremos de
sujeito a
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os pontos extremos de
sujeitos à restrição linear
.
Informações dadas:
- A função de duas variáveis é
. - A restrição é a reta
. - A tarefa: encontrar pontos
sobre essa reta onde atinge máximos ou mínimos (se existirem).
Passo 2
Escolha do método e porquê: como a restrição é linear simples, o método mais direto e elementar é usar a substituição
para reduzir o problema a uma função de uma variável. Isso evita introduzir conceitos extras; é rápido e robusto quando a restrição expressa uma variável em função da outra.
Explicação do conceito usado: ao substituir
na expressão de
, a otimização fica sendo apenas achar extremos de uma função quadrática de uma variável. Para funções de uma variável, usamos derivada para localizar extremos: pontos críticos onde a derivada é zero, e depois analisamos o sinal da segunda derivada para classificar máximo ou mínimo.
Passo 3
Substituição da restrição na função:
Substituindo em
:
Agora vamos expandir
passo a passo:
Portanto
Distribuindo o menos:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 4
Encontrar pontos críticos: para otimizar
derivamos em relação a
e igualamos a zero. Lembrete didático: a derivada
dá a taxa de variação instantânea; onde
há candidatos a extremos.
Calcule a derivada:
Igualando a zero para achar pontos críticos:
Classificação do ponto: usamos a segunda derivada. Lembrete: se
no ponto crítico, é máximo local (concavidade para baixo); se
, mínimo local.
Como
, o ponto
é um máximo (local). Como a função é uma parábola com coeficiente de
negativo, esse máximo é global em toda a reta (a parábola abre para baixo).
Passo 5
Encontrar
e o valor de
no ponto:
Calcular
:
Assim, o ponto
dá
e é o máximo restrito à reta.
Passo 6
Existência de mínimo: analisar comportamento para mostrar se existe mínimo restrito. Observação didática: a restrição
permite
arbitrariamente grande em módulo; substituindo vê-se que
e, como o termo
domina quando
, tem-se
. Portanto não existe mínimo (nem mínimo global finito) sob a restrição:
é não limitado inferiormente ao longo da reta.
Passo 7
Breve verificação alternativa (opcional, rápida): usando multiplicadores de Lagrange seria resolvido pelo sistema
o que dá
. Das duas primeiras equações vem
; com
resulta
, confirmando o mesmo máximo
. A verificação com Lagrange confirma o resultado da substituição.
Resposta
Máximo:
em
.
Mínimo: não existe ( ao longo da reta
).
Mínimo: não existe (