Determine o (s) ponto (s) que maximiza (m) a funçāo f(x, y)=x^{2} y sujeita à condição 2 x^{2}+y^{2}=3.

Passo 1

O enunciado dá a função objetivo e a restrição e pede os pontos que maximizam a função. Escrevendo em palavras e pegando os dados do enunciado:
  • Função a maximizar: f(x,y)=x^{2}y.
  • Restrição (condição): 2x^{2}+y^{2}=3.
  • Pergunta: determinar o(s) ponto(s) (x,y) que maximizam f sob essa restrição.

Passo 2

Observações iniciais úteis antes de calcular: a curva definida por 2x^{2}+y^{2}=3 é um elipse fechada e limitada; como f é contínua, f alcança máximo e mínimo sobre essa elipse. Para encontrar candidatos a extremos na restrição usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange (é um método padrão para otimização com restrição de igualdade; em poucas palavras, igualamos os gradientes de f e da restrição até um fator multiplicador \lambda). Vou explicar esse método passo a passo no próximo passo.

Passo 3

Explicação didática do método dos multiplicadores de Lagrange:
  • Seja a restrição escrita como g(x,y)=2x^{2}+y^{2}-3=0.
  • A ideia é que, no ponto de máximo/minimo sob a restrição, o vetor gradiente de f, \nabla f, deve ser paralelo ao gradiente de g, \nabla g. Isso acontece porque, movendo-se ao longo da curva g=0, a direção tangente é ortogonal a \nabla g; para que f não aumente/baixe primeiro ordem ao se deslocar sobre a curva, \nabla f precisa ter a mesma direção de \nabla g.
  • Formalmente isso dá o sistema
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y)
junto com a restrição g(x,y)=0. O escalar \lambda é o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Calcular os gradientes e escrever as equações explicitamente.
  • Derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}y:
\frac{\partial f}{\partial x}=2xy,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=x^{2}.
  • Derivadas parciais de g(x,y)=2x^{2}+y^{2}-3:
\frac{\partial g}{\partial x}=4x,\qquad \frac{\partial g}{\partial y}=2y.
  • Igualando \nabla f=\lambda\nabla g temos o sistema
2xy= \lambda 4x,\qquad x^{2}= \lambda 2y,
junto com a restrição
2x^{2}+y^{2}=3.

Passo 5

Tratar as equações do sistema. Da primeira equação 2xy=4\lambda x temos duas possibilidades: x=0 ou, se x\neq0, podemos dividir por x e obter
2y=4\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{y}{2}.
Vamos analisar primeiro o caso x\neq0 (onde usamos \lambda=\dfrac{y}{2}).

Passo 6

Substituir \lambda=\dfrac{y}{2} na segunda equação x^{2}=2\lambda y:
x^{2}=2\left(\frac{y}{2}\right)y = y^{2}.
Assim chegamos a
x^{2}=y^{2}\quad\Rightarrow\quad y=\pm x.

Passo 7

Resolver para cada sinal.
Caso y=x:
  • Substituir na restrição \,2x^{2}+y^{2}=3
2x^{2}+x^{2}=3\quad\Rightarrow\quad 3x^{2}=3\quad\Rightarrow\quad x^{2}=1.
  • Logo x=\pm1 e y=x fornece os pontos (1,1) e (-1,-1).
Avaliar f nesses pontos:
f(1,1)=1^{2}\cdot 1=1,\qquad f(-1,-1)=(-1)^{2}\cdot(-1)=1\cdot(-1)=-1.

Passo 8

Caso y=-x:
  • Substituir na restrição dá
2x^{2}+(-x)^{2}=3\quad\Rightarrow\quad 2x^{2}+x^{2}=3\quad\Rightarrow\quad 3x^{2}=3\quad\Rightarrow\quad x^{2}=1.
  • Logo x=\pm1 e y=-x fornece os pontos (1,-1) e (-1,1).
Avaliar f nesses pontos:
f(1,-1)=1^{2}\cdot(-1)=-1,\qquad f(-1,1)=(-1)^{2}\cdot 1=1.

Passo 9

Agora tratar o caso x=0 que havíamos descartado antes ao dividir. Se x=0, a restrição dá
2\cdot 0^{2}+y^{2}=3\quad\Rightarrow\quad y^{2}=3\quad\Rightarrow\quad y=\pm\sqrt{3}.
Avaliar f nesses pontos:
f(0,\pm\sqrt{3})=0^{2}\cdot(\pm\sqrt{3})=0.

Passo 10

Comparar todos os valores obtidos para f nos candidatos encontrados:
  • f(1,1)=1
  • f(-1,1)=1
  • f(0,\pm\sqrt{3})=0
  • f(1,-1)=-1
  • f(-1,-1)=-1
Como a elipse é compacta e foram verificados todos os pontos críticos da restrição, o maior valor de f entre esses é 1, atingido em (1,1) e (-1,1). (Os valores -1 são mínimos e 0 são valores intermediários.)

Resposta

(1,1)
(-1,1)

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