Determine o (s) ponto (s) que maximiza (m) a funçāo
sujeita à condição
.
Passo 1
O enunciado dá a função objetivo e a restrição e pede os pontos que maximizam a função. Escrevendo em palavras e pegando os dados do enunciado:
- Função a maximizar:
. - Restrição (condição):
. - Pergunta: determinar o(s) ponto(s)
que maximizam sob essa restrição.
Passo 2
Observações iniciais úteis antes de calcular: a curva definida por
é um elipse fechada e limitada; como
é contínua,
alcança máximo e mínimo sobre essa elipse. Para encontrar candidatos a extremos na restrição usaremos o método dos multiplicadores de Lagrange (é um método padrão para otimização com restrição de igualdade; em poucas palavras, igualamos os gradientes de
e da restrição até um fator multiplicador
). Vou explicar esse método passo a passo no próximo passo.
Passo 3
Explicação didática do método dos multiplicadores de Lagrange:
- Seja a restrição escrita como
. - A ideia é que, no ponto de máximo/minimo sob a restrição, o vetor gradiente de
, , deve ser paralelo ao gradiente de , . Isso acontece porque, movendo-se ao longo da curva , a direção tangente é ortogonal a ; para que não aumente/baixe primeiro ordem ao se deslocar sobre a curva, precisa ter a mesma direção de . - Formalmente isso dá o sistema
junto com a restrição
. O escalar
é o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Calcular os gradientes e escrever as equações explicitamente.
- Derivadas parciais de
:
- Derivadas parciais de
:
- Igualando
temos o sistema
junto com a restrição
Passo 5
Tratar as equações do sistema. Da primeira equação
temos duas possibilidades:
ou, se
, podemos dividir por
e obter
Vamos analisar primeiro o caso
(onde usamos
).
Passo 6
Substituir
na segunda equação
:
Assim chegamos a
Passo 7
Resolver para cada sinal.
Caso
:
- Substituir na restrição
dá
- Logo
e fornece os pontos e .
Avaliar
nesses pontos:
Passo 8
Caso
:
- Substituir na restrição dá
- Logo
e fornece os pontos e .
Avaliar
nesses pontos:
Passo 9
Agora tratar o caso
que havíamos descartado antes ao dividir. Se
, a restrição dá
Avaliar
nesses pontos:
Passo 10
Comparar todos os valores obtidos para
nos candidatos encontrados:
Como a elipse é compacta e foram verificados todos os pontos críticos da restrição, o maior valor de
entre esses é
, atingido em
e
. (Os valores
são mínimos e
são valores intermediários.)