Ache o comprimento do arco da curva
do ponto
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva
que vai do ponto
até
. Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando a fórmula do comprimento de arco. Vamos precisar entender derivadas e integrais para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Isso significa que precisamos integrar a raiz de
de
até
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Dada a função
, a derivada
é:
Isso foi feito aplicando a regra do poder para derivadas, onde multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1.
Passo 4
Em seguida, vamos calcular
:
Isso simplifica para
.
Passo 5
Agora, substituímos
na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos simplificar ainda mais a expressão dentro da raiz:
Para facilitar a integração, podemos fatorar o denominador:
Então, a expressão sob a raiz fica:
Passo 7
Substituindo de volta na integral, temos:
Essa integral ainda é um pouco complicada, então vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
Passo 8
Substituindo
e
na integral:
Simplificando os termos:
E então:
Passo 9
Agora, vamos resolver a integral
. Para isso, usamos uma substituição adicional:
Substituindo na integral:
Passo 10
Integrando
:
Voltando para
:
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Passo 11
Calculando os valores dentro dos parênteses:
Então:
Passo 12
Calculando
e
:
Subtraindo:
Então:
Resposta
O comprimento do arco da curva
do ponto
a
é aproximadamente 7,63 unidades.