Ache o comprimento do arco da curva y=x^2 / 3 do ponto (1,1) a (8,4).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva que vai do ponto até . Isso envolve um pouco de cálculo, especificamente usando a fórmula do comprimento de arco. Vamos precisar entender derivadas e integrais para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função L = integrala^b raiz1 + (dydx)^2 , dx entre dois pontos e . A fórmula é:
Isso significa que precisamos integrar a raiz de de até .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de dydx = 23 x^-1/3 em relação a . Dada a função , a derivada é:
Isso foi feito aplicando a regra do poder para derivadas, onde multiplicamos pelo expoente e diminuímos o expoente em 1.

Passo 4

Em seguida, vamos calcular (dydx)^2 = (23 x^-1/3)^2 = 49 x^-2/3 :
Isso simplifica para .

Passo 5

Agora, substituímos L = integral1^8 raiz1 + 49 x^-2/3 , dx na fórmula do comprimento do arco:
1 + 49 x^-2/3 = 99 + 49 x^-2/3 = 9 + 4 x^-2/39
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
L = integral1^8 raiz9 + 4 x^-2/39 , dx = integral1^8 raiz9 + 4 x^-2/33 , dx
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos simplificar ainda mais a expressão dentro da raiz:
9 + 4 x^-2/3 = 9 + 4x^2/3 = 9 + 4 x^-2/3
Para facilitar a integração, podemos fatorar o denominador:
9 + 4 x^-2/3 = 9 + 4x^2/3 = 9 x^2/3 + 4x^2/3
Então, a expressão sob a raiz fica:
raiz9 x^2/3 + 4x^2/3 = raiz9 x^2/3 + 4x^1/3

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:
L = integral1^8 raiz9 x^2/3 + 43 x^1/3 , dx
Essa integral ainda é um pouco complicada, então vamos fazer uma substituição para simplificar. Vamos definir:
u = x^1/3 Rightarrow x = u^3 Rightarrow dx = 3u^2 , du

Passo 8

Substituindo L = integralu=1^u=2 raiz9 (u^3)^2/3 + 43 u cdot 3u^2 , du e (u^3)^2/3 = u^2 Rightarrow raiz9 u^2 + 4 na integral:
L = integral1^2 raiz9 u^2 + 43 u cdot 3u^2 , du = integral1^2 u raiz9 u^2 + 4 , du
Simplificando os termos:
E então:

Passo 9

Agora, vamos resolver a integral v = 9 u^2 + 4 Rightarrow dv = 18u , du Rightarrow u , du = dv18 . Para isso, usamos uma substituição adicional:
L = integral raizv cdot dv18 = 118 integral v^1/2 , dv
Substituindo na integral:

Passo 10

Integrando 118 cdot 23 v^3/2 + C = 127 v^3/2 + C :
L = 127 (9 u^2 + 4)^3/2 + C
Voltando para L = 127 [ (9 cdot 2^2 + 4)^3/2 - (9 cdot 1^2 + 4)^3/2 ] :
Agora, aplicamos os limites de integração de a :

Passo 11

Calculando os valores dentro dos parênteses:
9 cdot 2^2 + 4 = 9 cdot 4 + 4 = 36 + 4 = 40
9 cdot 1^2 + 4 = 9 cdot 1 + 4 = 9 + 4 = 13
Então:
L = 127 ( 40^3/2 - 13^3/2 )

Passo 12

Calculando 40^3/2 = raiz40^3 = (6.3246)^3 approx 252.982 e 13^3/2 = raiz13^3 = (3.6056)^3 approx 46.872 :
252.982 - 46.872 approx 206.110
L = 127 times 206.110 approx 7.630
Subtraindo:
Então:

Resposta

O comprimento do arco da curva do ponto a é aproximadamente 7,63 unidades.

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