Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a série e precisamos mostrar que ela converge de forma uniforme para todo número real (ou seja, para ). Para isso, vamos usar o Critério M de Weierstrass, que é uma ferramenta muito útil para verificar a convergência uniforme de séries de funções.
Passo 2
O Critério M de Weierstrass diz o seguinte: se você consegue encontrar uma sequência de números reais tal que, para todo no intervalo considerado e para todo , a desigualdade é satisfeita, e se a série converge, então a série de funções converge uniformemente nesse intervalo.
Passo 3
No nosso caso, a função geral da série é . Precisamos encontrar um que seja maior ou igual em módulo a para todo . Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
Portanto, temos:
Assim, podemos escolher Mn = 1n!.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se a série sumn=0^infty Mn = sumn=0^infty 1n! converge. Sabemos que esta série é a expansão da constante matemática e (base dos logaritmos naturais), que é uma soma finita:
sumn=0^infty 1n! = e
Como e é finito, a série sumn=0^infty 1n! converge.
Passo 5
Como encontramos uma sequência Mn = 1n! que satisfaz |sin(n x)n!| <= Mn para todo x in R, e como a série sumn=0^infty Mn converge, pelo Critério M de Weierstrass, podemos concluir que a série original sumn=0^infty sin(n x)n!converge uniformemente em todo o conjunto dos números reais R.
Resposta
A série sumn=0^infty sin(n x)n! é uniformemente convergente em R.