Usando o Critério M de Weierstrass, mostre que as séries abaixo são uniformemente convergentes nos intervalos dados.
sumn=0^infty sin (n x)n! em R

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a série sumn=0^infty sin(n x)n! e precisamos mostrar que ela converge de forma uniforme para todo número real x (ou seja, para x in R). Para isso, vamos usar o Critério M de Weierstrass, que é uma ferramenta muito útil para verificar a convergência uniforme de séries de funções.

Passo 2

O Critério M de Weierstrass diz o seguinte: se você consegue encontrar uma sequência de números reais Mn tal que, para todo x no intervalo considerado e para todo n, a desigualdade |fn(x)| <= Mn é satisfeita, e se a série sumn=0^infty Mn converge, então a série de funções sumn=0^infty fn(x) converge uniformemente nesse intervalo.

Passo 3

No nosso caso, a função geral da série é fn(x) = sin(n x)n!. Precisamos encontrar um Mn que seja maior ou igual em módulo a fn(x) para todo x in R. Sabemos que o seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1, ou seja:
|sin(n x)| <= 1
Portanto, temos:
|sin(n x)n!| <= 1n!
Assim, podemos escolher Mn = 1n!.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se a série sumn=0^infty Mn = sumn=0^infty 1n! converge. Sabemos que esta série é a expansão da constante matemática e (base dos logaritmos naturais), que é uma soma finita:
sumn=0^infty 1n! = e
Como e é finito, a série sumn=0^infty 1n! converge.

Passo 5

Como encontramos uma sequência Mn = 1n! que satisfaz |sin(n x)n!| <= Mn para todo x in R, e como a série sumn=0^infty Mn converge, pelo Critério M de Weierstrass, podemos concluir que a série original sumn=0^infty sin(n x)n! converge uniformemente em todo o conjunto dos números reais R.

Resposta

A série sumn=0^infty sin(n x)n! é uniformemente convergente em R.

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