Questão: Calcule o Wronskiano das seguintes funções:
f(x)=e^x cos (x) e g(x)=e wed>= x backslash sen(x).

Passo 1

Estamos calculando o Wronskiano das funções f(x)=e^xcos x e g(x)=e^xsin x. O Wronskiano é definido como W(x)=detf(x)&g(x)f'(x)&g'(x), e serve para testar independência linear em EDOs.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto para derivar ambas as funções:
f'(x)=ddxl(e^xcos xr)=e^xcos x-e^xsin x=e^x(cos x-sin x),
g'(x)=ddxl(e^xsin xr)=e^xsin x+e^xcos x=e^x(sin x+cos x)

Passo 3

Substituímos f, f', g, g' na fórmula do Wronskiano:
$$W(x)=f(x)g’(x)-f’(x)g(x)
=e^{x}\cos x\cdot e^{x}(\sin x+\cos x)
  • e^{x}(\cos x-\sin x)\cdot e^{x}\sin x.$$

Passo 4

Fatoramos e^2x e simplificamos usando cos^2x+sin^2x=1:
W(x)=e^2xl(cos x(sin x+cos x)-(cos x-sin x)sin xr) =e^2x(cos^2x+sin^2x) =e^2x

Resposta

W(x)=e^2x

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