Questão: Calcule o Wronskiano das seguintes funções:
e
.
Passo 1
Estamos calculando o Wronskiano das funções
e
. O Wronskiano é definido como
, e serve para testar independência linear em EDOs.
Passo 2
Aplicamos a regra do produto para derivar ambas as funções:
Passo 3
Substituímos
na fórmula do Wronskiano:
$$W(x)=f(x)g’(x)-f’(x)g(x)
=e^{x}\cos x\cdot e^{x}(\sin x+\cos x)
=e^{x}\cos x\cdot e^{x}(\sin x+\cos x)
- e^{x}(\cos x-\sin x)\cdot e^{x}\sin x.$$
Passo 4
Fatoramos
e simplificamos usando
: