Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
A circunferência descrita por: r=5 \cos \theta.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento de arco da curva dada em coordenadas polares por
r = 5 \cos\theta,
sabendo que a>0 (aqui a=5). O conteúdo necessário é a fórmula do comprimento de arco em coordenadas polares:
L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r(\theta)^2 + \bigl(r'(\theta)\bigr)^2}\,d\theta.
Precisamos também determinar o intervalo de \theta onde a curva é traçada com r\ge0.

Passo 2

Calculamos a derivada de r em relação a \theta. Como
r(\theta) = 5\cos\theta,
temos
r'(\theta) = \frac{d}{d\theta}\bigl(5\cos\theta\bigr) = -5\sin\theta.

Passo 3

Formamos o integrando da fórmula do comprimento:
r(\theta)^2 + \bigl(r'(\theta)\bigr)^2 = \bigl(5\cos\theta\bigr)^2 + \bigl(-5\sin\theta\bigr)^2 = 25\cos^2\theta + 25\sin^2\theta = 25.
Logo,
\sqrt{r(\theta)^2 + \bigl(r'(\theta)\bigr)^2} = \sqrt{25} = 5.

Passo 4

Para que r\ge0 é necessário \cos\theta\ge0, isto é -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}. Nesse intervalo, a curva completa é percorrida uma vez.

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento de arco:
L = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 5\,d\theta = 5 \Bigl[\theta\Bigr]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = 5\Bigl(\tfrac{\pi}{2} - \bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) = 5\pi.

Resposta

O comprimento de arco da curva r=5\cos\theta é 5\pi.

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