Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
A tratriz
x=t-a \operatorname{tgh} \frac{t}{a} \quad y=a \operatorname{sech} \frac{t}{a}
de t=-a a t=2 a.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do arco da curva paramétrica
x(t)=t - a\,\operatorname{tanh}\!\Bigl(\frac{t}{a}\Bigr), \quad y(t)=a\,\sech\!\Bigl(\frac{t}{a}\Bigr),
para t variando de -a até 2a. O conteúdo usado será a fórmula
L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2 + \bigl(y'(t)\bigr)^2}\,dt
e identidades de funções hiperbólicas.

Passo 2

Calculamos as derivadas:
x'(t) =1 - \frac{d}{dt}\bigl[a\,\operatorname{tanh}(t/a)\bigr] =1 - a\cdot\sech^2\!\Bigl(\frac{t}{a}\Bigr)\cdot\frac1a =1 - \sech^2\!\Bigl(\frac{t}{a}\Bigr),
y'(t) =\frac{d}{dt}\Bigl[a\,\sech(t/a)\Bigr] =a\cdot\bigl(-\sech(t/a)\operatorname{tanh}(t/a)\bigr)\cdot\frac1a =-\sech\!\Bigl(\frac{t}{a}\Bigr)\,\operatorname{tanh}\!\Bigl(\frac{t}{a}\Bigr).

Passo 3

Formamos o integrando:
\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2 =\bigl(1-\sech^2(u)\bigr)^2 + \sech^2(u)\,\operatorname{tanh}^2(u), \quad u=\frac{t}{a}.
Usando \operatorname{tanh}^2(u)+\sech^2(u)=1, verifica-se que o somatório vale 1-\sech^2(u)=\operatorname{tanh}^2(u). Assim
\sqrt{\bigl(x'(t)\bigr)^2+\bigl(y'(t)\bigr)^2} =\bigl|\operatorname{tanh}\!(t/a)\bigr|.

Passo 4

Logo
L =\int_{-a}^{2a}\bigl|\operatorname{tanh}(t/a)\bigr|\,dt =\int_{-a}^{0}-\operatorname{tanh}(t/a)\,dt +\int_{0}^{2a}\operatorname{tanh}(t/a)\,dt.
Fazemos a substituição u=t/a, dt=a\,du. Os limites vão de u=-1 a u=0 e de u=0 a u=2.

Passo 5

Como \int\operatorname{tanh} u\,du=\ln\!\bigl(\operatorname{cosh} u\bigr), temos
\int_{-1}^{0}-\operatorname{tanh} u\,a\,du =-a\Bigl[\ln(\operatorname{cosh} u)\Bigr]_{-1}^{0} =-a\bigl(\ln1-\ln\cosh1\bigr) =a\ln\cosh1,
\int_{0}^{2}\operatorname{tanh} u\,a\,du =a\Bigl[\ln(\operatorname{cosh} u)\Bigr]_{0}^{2} =a\bigl(\ln\cosh2-\ln1\bigr) =a\ln\cosh2.
Somando, obtém-se
L =a\ln\cosh1 + a\ln\cosh2 =a\ln\bigl(\cosh1\cdot\cosh2\bigr).

Resposta

L = a\bigl[\ln(\cosh1)+\ln(\cosh2)\bigr] = a\ln\bigl(\cosh1\,\cosh2\bigr).

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