Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
A curva inteira: r=3 \cos ^{2} \frac{1}{2} \theta.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva polar dada por
r(\theta)=3\cos^2\bigl(\tfrac12\theta\bigr)
para a curva inteira. O conteúdo aqui é comprimento de arco em coordenadas polares, cuja fórmula é
L=\int_{a}^{b}\sqrt{r(\theta)^2+\bigl(r'(\theta)\bigr)^2}\,d\theta.
Precisamos então determinar o intervalo [a,b] que gera a curva completa. Como r(\theta) tem período 2\pi, escolhemos \theta\in[0,2\pi].

Passo 2

Calcular a derivada r'(\theta). Temos
r(\theta)=3\cos^2\bigl(\tfrac12\theta\bigr).
Usando a regra da cadeia e \frac{d}{d\theta}\cos^2(u)=2\cos(u)(-\sin(u))\,u', com u=\tfrac12\theta e u'=\tfrac12, obtemos
r'(\theta) =3\cdot\bigl[-\cos\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\,\sin\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\bigr] =-\tfrac32\sin\theta.

Passo 3

Montar o integrando
\sqrt{r^2+{r'}^2} =\sqrt{9\cos^4\bigl(\tfrac12\theta\bigr) +\bigl(-\tfrac32\sin\theta\bigr)^2} =\sqrt{9\cos^4\bigl(\tfrac12\theta\bigr) +\tfrac{9}{4}\sin^2\theta}.
Como \sin^2\theta=4\sin^2\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\cos^2\bigl(\tfrac12\theta\bigr), o radicando vira
9\cos^4\bigl(\tfrac12\theta\bigr) +9\sin^2\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\cos^2\bigl(\tfrac12\theta\bigr) =9\cos^2\bigl(\tfrac12\theta\bigr),
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\sqrt{r^2+{r'}^2}=3\bigl|\cos\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\bigr|.

Passo 4

Calcular
L= \int_{0}^{2\pi}3\bigl|\cos\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\bigr|\,d\theta.
Como \cos(\tfrac12\theta) é positivo em [0,\pi) e negativo em (\pi,2\pi], separamos:
L=3\Bigl[\int_{0}^{\pi}\cos\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\,d\theta +\int_{\pi}^{2\pi}-\cos\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\,d\theta\Bigr].
Usando \int\cos(\tfrac12\theta)\,d\theta=2\sin(\tfrac12\theta), temos
\int_{0}^{\pi}\cos\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\,d\theta =2\bigl[\sin(\tfrac12\pi)-\sin0\bigr]=2,
\int_{\pi}^{2\pi}-\cos\bigl(\tfrac12\theta\bigr)\,d\theta =-2\bigl[\sin(\pi)-\sin(\tfrac12\pi)\bigr]=2.
Assim L=3\,(2+2)=12.

Resposta

12

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