Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
r=a \theta^{2}; de \theta=0 a \theta=\pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o comprimento do arco da curva em coordenadas polares
r = a\,\theta^{2},\quad a>0,
no intervalo \theta\in[0,\pi].
O conteúdo envolve usar a fórmula de comprimento de arco em coordenadas polares e integrar em \theta.

Passo 2

A fórmula geral para o comprimento de arco em coordenadas polares é
L = \int_{\theta_{1}}^{\theta_{2}} \sqrt{r^{2} + \biggl(\frac{dr}{d\theta}\biggr)^{2}}\;d\theta.
Aqui \theta_{1}=0 e \theta_{2}=\pi.

Passo 3

Primeiro calculamos a derivada
\frac{dr}{d\theta} = \frac{d}{d\theta}\bigl(a\,\theta^{2}\bigr) = 2\,a\,\theta.

Passo 4

Substituindo r e dr/d\theta na fórmula de L, obtemos
L = \int_{0}^{\pi} \sqrt{\bigl(a\,\theta^{2}\bigr)^{2} + \bigl(2\,a\,\theta\bigr)^{2}}\;d\theta = \int_{0}^{\pi} \sqrt{a^{2}\,\theta^{4} +4\,a^{2}\,\theta^{2}}\;d\theta = \int_{0}^{\pi} a\,\theta\,\sqrt{\theta^{2}+4}\;d\theta.

Passo 5

Para calcular \displaystyle \int \theta\,\sqrt{\theta^{2}+4}\;d\theta,
fazemos a substituição u=\theta^{2}+4, de onde du=2\,\theta\,d\theta, logo \theta\,d\theta=\tfrac12\,du. Assim,
\int \theta\,\sqrt{\theta^{2}+4}\;d\theta = \frac12 \int u^{1/2}\,du = \frac12\cdot \frac{2}{3}\,u^{3/2} = \frac{1}{3}\,(\theta^{2}+4)^{3/2}.

Passo 6

Voltando a L e avaliando de 0 a \pi, temos
L = a \,\Biggl[\frac{1}{3}\,(\theta^{2}+4)^{3/2}\Biggr]_{0}^{\pi} = \frac{a}{3}\Bigl[(\pi^{2}+4)^{3/2} - (0^{2}+4)^{3/2}\Bigr] = \frac{a}{3}\Bigl[(\pi^{2}+4)^{3/2} - 8\Bigr].

Resposta

L = \frac{a}{3}\Bigl[(\pi^{2}+4)^{3/2} - 8\Bigr].

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