Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
A hipociclóide de quatro vértices inteira: x=a \cos ^{3} t, y=a \operatorname{sen}^{3} t.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
x = a\cos^3 t,\quad y = a\sin^3 t,
com t variando em [0,2\pi] e a>0, e pede o comprimento de toda a hipocicloide (astroide). O conteúdo aqui é o comprimento de arco de curva paramétrica, que se obtém por derivadas e integração do módulo da velocidade.

Passo 2

Calculamos as derivadas de x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t\,\sin t, \quad \frac{dy}{dt} = 3a\sin^2 t\,\cos t.

Passo 3

O comprimento de arco é
L = \int_{0}^{2\pi} \sqrt{\bigl(\tfrac{dx}{dt}\bigr)^2 + \bigl(\tfrac{dy}{dt}\bigr)^2}\,dt.
Substituindo as derivadas:
\sqrt{\bigl(-3a\cos^2 t\,\sin t\bigr)^2 + \bigl(3a\sin^2 t\,\cos t\bigr)^2} =3a\,\bigl|\sin t\cos t\bigr|.
Logo
L = 3a\int_{0}^{2\pi}|\sin t\cos t|\,dt.

Passo 4

A função |\sin t\cos t| é periódica e positiva em cada intervalo de comprimento \pi/2. Logo
\int_{0}^{2\pi}|\sin t\cos t|\,dt =4\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt.
E
\int_{0}^{\pi/2}\sin t\cos t\,dt =\int_{0}^{\pi/2}\tfrac12\sin(2t)\,dt =\bigl[-\tfrac14\cos(2t)\bigr]_{0}^{\pi/2} =\tfrac12.

Passo 5

Substituindo de volta em L:
L = 3a \times 4 \times \tfrac12 = 6a.

Resposta

O comprimento da hipocicloide completa é 6a.

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