Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0. \mathbf{R}(t)=a(\cos t+t \operatorname{sen} t) \mathbf{i}+a(\operatorname{sen} t-t \cos t) \mathbf{j} ; de t=0 a t=\frac{1}{3} \pi.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento do arco da curva parametrizada por
\mathbf{R}(t)=a\bigl(\cos t + t\sin t\bigr)\,\mathbf{i} +a\bigl(\sin t - t\cos t\bigr)\,\mathbf{j}
para 0\le t\le \frac{\pi}{3}.
Para resolver, vamos usar a fórmula do comprimento de arco de uma curva paramétrica no plano:
L = \int_{t_1}^{t_2} \bigl\|\mathbf{R}'(t)\bigr\|\,dt.
Passo 2
Calcular a derivada de \mathbf{R}(t). Para a componente x(t)=a(\cos t + t\sin t) temos
x'(t)=a\bigl(-\sin t + \sin t + t\cos t\bigr)=a\,t\cos t.
Para a componente y(t)=a(\sin t - t\cos t) temos
y'(t)=a\bigl(\cos t -[\cos t - t\sin t]\bigr)=a\,t\sin t.