Ache o comprimento do arco dado. Quando aparecer a, a>0.
x=e^{-t} \cos t, y=e^{-t} \operatorname{sen} t; de t=0 a t=\pi.

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x(t)=e^{-t}\cos t,\quad y(t)=e^{-t}\sin t,
para 0\le t\le \pi, e pede o comprimento de arco. O conteúdo envolvido é o comprimento de uma curva dada por parâmetros, cuja fórmula é
L=\int_{t_0}^{t_1}\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt.

Passo 2

Primeiro encontramos as derivadas:
\frac{dx}{dt}=-e^{-t}\cos t - e^{-t}\sin t = -e^{-t}(\cos t+\sin t),
\frac{dy}{dt}=-e^{-t}\sin t + e^{-t}\cos t = e^{-t}(\cos t-\sin t).
Então
\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2 =e^{-2t}\bigl[(\cos t+\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2\bigr] =2e^{-2t}.
A raiz fica
\sqrt{2e^{-2t}}=\sqrt2\,e^{-t}.

Passo 3

Substituindo na integral de comprimento:
L=\int_{0}^{\pi}\sqrt2\,e^{-t}\,dt =\sqrt2\int_{0}^{\pi}e^{-t}\,dt =\sqrt2\bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{\pi} =\sqrt2\,(1-e^{-\pi}).

Resposta

\displaystyle \sqrt2\,(1-e^{-\pi})

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